16. Considere as afirmações:
- é uma função ímpar.
- é injetora.
- para todo
São verdadeiras:
- Todas
- Apenas I e II
- Nenhuma
- Apenas I e III
- Apenas II e III
Passo 1
Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós temos que dizer quais dessas afirmações são verdadeiras, então vamos analisar cada uma com calma em cada passo. Bora lá!
Passo 2
A primeira afirmação diz: é uma função ímpar.
Para podemos avaliar, temos que lembrar que uma função ímpar é aquela que
De cara, temos que o seno é uma função impar, pois
E a função tangente também possui uma simetria de função impar, ou seja,
Caso você queira, conferir pode pegar valores de seno e tangente que você conhece e verificar que essas relação é verdadeira, beleza?
Mas, concluindo aqui, temos que a afirmação I é verdadeira.
Passo 3
A segunda afirmação diz que: é injetora.
Para que não lembra, uma função injetora é aquela que:
Para
Temos
Ou seja, para cada temos um diferente .
Então, pessoal, a função arcosseno nos fornece o ângulo cujo o seno é . E sabemos que a função seno periódica, cujo varia de a , ou seja, não é injetora.
Mas, como eu falei a função arcosseno é diferente, ela terá variando de a , mas sempre um (podemos pensar como um ângulo) diferente para cada valor nesse intervalo, ou seja, ela é injetora.
Logo a afirmação II também é verdadeira.
Passo 4
Por fim, temos que: para todo .
Para analisar essa afirmativa, temos que lembrar de como é a soma/subtração de senos. Ela é assim:
Aplicando para , ficamos com
Como,
E
Temos que
Opaaa, a afirmação III é verdadeira.
Logo todas as afirmações são verdadeiras.