Exercícios Resolvidos de Funções Injetoras, Sobrejetoras, Bijetoras e Inversas

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Enunciado

  1. Seja a um número real e considere a função f : - ∞ , a → R dada por f x = 2 x 2 - 3 x + 4 .

O maior valor de a para o qual f é uma função injetiva é

  1. 3 4
  2. 0 ;
  3. - 1 ;
  4. - 2 ;
  5. 10 .

Passo 1

Fala aí pessoal! Nos deparamos com um problema em que ele nos dá uma função

f x = 2 x 2 - 3 x + 4 ,

que é uma parábola voltada para cima, nos dá um domínio ( - ∞ , a ) e nos pede para achar o maior valor de a para que f seja injetiva. Bom, para lembrar, uma função injetiva é aquela em que a gente nunca vai ter dois valores de x com o mesmo valor de f ( x ) ... Bem, como temos uma parábola voltada para cima, sabemos que ela vem diminuindo (para valores pequenos de x ) passa pelo vértice e começa a subir de maneira espelhada em relação ao vértice. Assim ó:

A gente percebe então que a partir do vértice passamos a ter dois x com um mesmo valor de f e isso é o que a gente não quer!O que a gente vai fazer então é encontrar esse vértice e parar o domínio nele mesmo, ou seja, o a do problema é o x do vértice! Partiu?

Passo 2

A nossa função é dada por

f x = 2 x 2 - 3 x + 4

Sempre que temos uma função do segundo grau f x = a ' x 2 + b ' x + c ' (botei umas linhas para a gente não se confundir com as letras do problema dado, ok?), o x v do vértice é dado por

x v =   - b ' 2 a '

Em nossa função temos a ' = 2 ,   b ' =   - 3 e c ' = 4 , então

x v =   - - 3 2.2 = 3 4

Como discutimos antes, esse x v é o valor máximo de x do domínio dado ( - ∞ , a ) que a função pode ser injetiva, ou seja: a = 3 4

E aí resolvemos essa questão 😊 Vamos para a próxima?

Resposta

Letra A.

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Determine o domínio e a imagem da funçãog (x) = sin^(- 1) ( 3 x + 1 )
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