Exercícios Resolvidos de Funções Injetoras, Sobrejetoras, Bijetoras e Inversas

Ver Teoria

Enunciado

Seja f ( x ) = 2 ( x 2 + 1 )   a r c t a n ( x ) ,   x ∈ ℝ .

( a ) Mostre que f é invertível;

Passo 1

Eaew, tudo certinho contigo?

Precisamos considerar a seguinte função

f ( x ) = 2 ( x 2 + 1 )   a r c t a n ( x ) ,   x ∈ ℝ

e nesta alternativa determinar se ela é invertível! Mas o que significa a função ser invertível? A função precisa ser bijetora, ou seja, ser injetora e sobrejetora, dois conceitos intimamente ligados ao domínio e imagem da função! Portanto, vamos usar o gráfico desta função, para determinar se ela é invertível ou não! Bora lá!

Passo 2

Temos que o gráfico da função é dado por

Note que para todo valor de x ∈ ℝ que é o domínio da função f ( x ) , temos um valor diferente y = f ( x ) pertencente a imagem da função. Sendo assim, ela é injetora! Note que a imagem desta função é todos os , portanto, tendo o domínio da inversa como os ℝ, temos que ela é invertível sem maiores dificuldades!

A primeira alternativa foi isso! Até a próxima!

Resposta

A função é invertível!

Exercícios de Livros Relacionados

Faça o gráfico da função f x = x 3 + x 2 + x + 1 E explique por que ela é injetora. Use então um sistema de computação algébrica (SCA) para encontrar uma expressão explícita para f - 1 x . (Seu SCA va
Determine o domínio e a imagem da funçãog (x) = sin^(- 1) ( 3 x + 1 )
Encontre o valor exato de cada expressão. arccos ⁡ - 1 2
Encontre o valor exato de cada expressão.(a) cot g - 1 ⁡ - 3
Se f (x) = 3 + x^2 + t g ((pi x)/(2)) , onde - 1x1 . Encontre f^(- 1) (3) . Encontre f (f^(- 1) (5)) .