Seja f(x) = 2 * (x^2 + 1) * arctan(x), x ∈ R .

(a) Mostre que f é invertível;

Passo 1

Eaew, tudo certinho contigo?

Precisamos considerar a seguinte função

f ( x ) = 2 ( x 2 + 1 )   a r c t a n ( x ) ,   x ∈ ℝ

e nesta alternativa determinar se ela é invertível! Mas o que significa a função ser invertível? A função precisa ser bijetora, ou seja, ser injetora e sobrejetora, dois conceitos intimamente ligados ao domínio e imagem da função! Portanto, vamos usar o gráfico desta função, para determinar se ela é invertível ou não! Bora lá!

Passo 2

Temos que o gráfico da função é dado por

Note que para todo valor de x ∈ ℝ que é o domínio da função f ( x ) , temos um valor diferente y = f ( x ) pertencente a imagem da função. Sendo assim, ela é injetora! Note que a imagem desta função é todos os , portanto, tendo o domínio da inversa como os ℝ, temos que ela é invertível sem maiores dificuldades!

A primeira alternativa foi isso! Até a próxima!

Resposta

A função é invertível!

Exercícios Resolvidos de Funções Injetoras, Sobrejetoras, Bijetoras e Inversas

Ver Teoria

Exercícios de Livros Relacionados