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Exercícios Resolvidos de Funções Injetoras, Sobrejetoras, Bijetoras e Inversas

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Enunciado

Determine a inversa das funções abaixo:

  1. y = 2 x + 1
  2. y = 3 x 2 - 5
  3. y = 1 x + 1

Passo 1

  1. A função tem tanto o contradomínio quanto a imagem igual ao conjunto dos números reais e não existe mais de um x para cada y , dessa forma, ela é bijetora e invertível.

    2. Isolando x :

    y = 2 x + 1 → 2 x = y - 1 → x = y - 1 2

    Trocando as variáveis, chegamos a inversa: f - 1 x = y = x - 1 2

    Passo 2

  2. Sabemos que essa função aí é uma parábola. Logo sabemos que a função não é bijetora, pois dois valores diferentes de x podem resultar em um único valor de y . Dessa maneira, não há inversa.

    3. Passo 3

  3. Primeiramente, observamos que a função tem uma restrição no domínio: x ≠ - 1 .

Apesar disso, vamos tentar inverter a função mesmo assim.

Isolando x :

y = 1 x + 1 → x + 1 = 1 y → x = 1 y - 1

Trocando as variáveis, chegamos a inversa:

f - 1 x = y = 1 x - 1

Verificamos que foi possível encontrar uma única expressão para a função inversa de f . Dessa maneira, podemos concluir que tratava-se de uma função bijetora.

Resposta

  1. f - 1   ( x ) = ( x - 1 ) / 2
  2. Não há
  3. f - 1   ( x ) = 1 / x - 1

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