Mostre que as funções definidas são bijetoras e determine a sua função inversa.

(c) h: R - {3} → R - {3} tal que h(x) = (3x + 2) / (x - 3) .

Passo 1

Eaew, tudo certinho contigo?

Temos a seguinte função

h : ℝ - { 3 } → ℝ - { 3 } tal que h ( x ) = 3 x + 2 x - 3

precisamos mostrar que ela é bijetora (injetora e sobrejetora), e achar a sua inversa! As condições para ser injetora e sobrejetora são

  • Uma função injetora tem para cada valor de x um valor de y = h ( x ) .
  • Uma função sobrejetora tem contradomínio igual a sua imagem.
  • A função bijetora é tanto injetora quando sobrejetora

Vamos precisar verificar as condições acima! E encontrar uma função g ( x ) , tal que

h ∘ g = h [ g ( x ) ] = x

Vamos lá!

Passo 2

Temos que nossa função é dada por

h ( x ) = 3 x + 2 x - 3

Vamos dar uma olhada no gráfico desta função, temos que

Perceba que não há dois valores de x em que y = h ( x ) seja igual! Portanto, ela é injetora! Ela também é sobrejetora já que o contradomínio ℝ - { 3 } está todo presente na imagem! Portanto, ela é bijetora! Vamos ver se conseguimos encontrar uma inversa!

Passo 3

Queremos uma função composta

h ∘ g = h [ g ( x ) ] = x

Essa relação nos dá que

x = 3 [ g ( x ) ] + 2 g [ x ] - 3

podemos multiplicar os dois lados por g [ x ] - 3 , para obter que

x g ( x ) - 3 x = 3 g ( x ) + 2

Isolando g ( x ) , temos que

g ( x ) [ x - 3 ] = 2 + 3 x

ou simplesmente

g ( x ) = 3 x + 2 x - 3

Como x = 3 não está no contradomínio de h , essa função está bem definida! A alternativa foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Ao longo dos Passos!

Exercícios Resolvidos de Funções Injetoras, Sobrejetoras, Bijetoras e Inversas

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