Exercícios Resolvidos de Funções Injetoras, Sobrejetoras, Bijetoras e Inversas

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Enunciado

Seja   f ( x )   =   x ⁵   +   x ³   +   2 x   +   1 e seja g a sua inversa. Sejam a ,   b   ∈   R com a   <   b . Mostre que

g ( b )   −   g ( a )   ≤ ( b   −   a ) / 2 .

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo 1.

Queremos mostrar que

g ( b )   −   g ( a )   ≤ ( b   −   a ) / 2 .

onde

  f ( x )   =   x ⁵   +   x ³   +   2 x   +   1 e g a sua inversa

Por onde podemos começar? Bem, note que a condição

g ( b )   −   g ( a )   ≤ ( b   −   a ) / 2 .

Parece com o teorema do valor médio, que diz que existe uma constante c ;   c o m   a   <   c   < b tal que

g ( b )   −   g ( a )   = ( b   −   a ) g ' ( c ) .

Então vamos começar calculando a derivada de g

Passo 2

Agora vamos calcular ( g ) ' ( x )

Usando a definição de função inversa

g ( f ( x ) ) = x

Derivando e utilizando a regra da cadeia

( g ) ' ( f ( x ) ) * f ' ( x ) = 1

⇒ g ' ( f ( x ) ) = 1 / f ' ( x )

Logo, temos que

g ' ( f ( x ) ) = 1 / ( 5 x ⁴ + 3 x ² + 2 )

Note que

5 x ⁴ + 3 x ² + 2 > 0

E além disso, temos que

m i n ( 5 x ⁴ + 3 x ² + 2 ) = 2

Logo

g ' ( f ( x ) ) = 1 / ( 5 x ⁴ + 3 x ² + 2 ) ≤ 2

Dessa forma, temos que pelo tvm

g ( b )   −   g ( a )   = ( b   −   a ) g ' ( c ) .

Mas como

g ' ( f ( x ) ) = 1 / ( 5 x ⁴ + 3 x ² + 2 ) ≥ 2

Então

g ( b )   −   g ( a )   ≤ ( b   −   a ) * 1 / 2 .

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

Desenvolvimento acima

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