Exercícios Resolvidos de Funções Injetoras, Sobrejetoras, Bijetoras e Inversas

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Enunciado

Encontre uma fórmula para a função inversa

a) f x = 1 + 2 + 3 x

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado pediu pra gente uma fórmula para a inversa da função f ( x ) . Mas o que é uma inversa?

Uma função inversa, como o nome já sugere, é uma função que faz o inverso da função f ( x ) . Como assim? As funções inversas “revertem” umas as outras. Por exemplo, se f leva a para b , então a inversa, f - 1 , deve levar b para a :

Ou, em outras palavras, f a = b   ⟺ f - 1 b = a .

No nosso caso, nós temos a lei de formação da função:

f x = 1 + 2 + 3 x

E nós precisamos encontrar f - 1 ( x ) . Como fazemos isso? Nós vamos chamar f x = y e encontrar a entrada de f que corresponde a uma saída y . Quer dizer, vamos trocar x e y de lugar inicialmente, e então isolar y para escrever a inversa em forma de função. Vamos lá!

Passo 2

Da nossa função f x = 1 + 2 + 3 x , vamos chamar f x = y :

y = 1 + 2 + 3 x

Trocando x por y , temos:

x = 1 + 2 + 3 y

Agora o que podemos fazer pra isolar y ? Podemos primeiro subtrair 1 dos dois lados:

x - 1 = 2 + 3 y

E pra remover a raiz, podemos elevar os dois lados da equação ao quadrado:

x - 1 2 = 2 + 3 y 2

x - 1 2 = 2 + 3 y

Agora podemos reescrever x - 1 2 como ( x - 1 ) ( x - 1 ) e aplicar a propriedade distributiva, multiplicando termo a termo:

( x - 1 ) ( x - 1 )   = 2 + 3 y

x 2 - x - x + 1 = 2 + 3 y

x 2 - 2 x + 1 = 2 + 3 y

Agora vamos mover todos os termos que não contém y para o lado direito da equação:

3 y = x 2 - 2 x + 1 - 2

3 y = x 2 - 2 x - 1

Simplificando dividindo cada termo por 3 , temos:

y = x 2 - 2 x - 1 3

E encontramos a nossa inversa:

f - 1 x = x 2 - 2 x - 1 3

Prontinho, galera! Encerramos o exercício. 😉

Resposta

f - 1 x = x 2 - 2 x - 1 3

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