Exercícios Resolvidos de Funções Injetoras, Sobrejetoras, Bijetoras e Inversas

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Enunciado

Se f : - 1,4 → I m ( f ) é uma função diferenciável tal que f - 1 = 7 ,   f 1 = 2 ,   f 2 = 0 e f ' x < - 1 em [ - 1,4 ] .

d) A função f possui inversa? Justifique.

Passo 1

Eaí gente, tudo tranquilinho?

Nessa questão recebemos algumas poucas informações sobre a função f . É falado que:

1 ) f : - 1,4 → I m ( f )  

Isso significa que f tem como domínio o conjunto [ - 1,4 ] .

2 )  

f - 1 = 7 f 1 = 2 f 2 = 0

3 )   f ' x < - 1 em [ - 1,4 ]

Essa informação é crucial, pois se f ' x < - 1 , também é verdade que f ' x < 0 . Isso significa que no intervalo [ - 1,4 ] a função é sempre decrescente.

Sabendo disso, nesse item precisamos verificar se f tem inversa.

Vocês lembram das condições para uma função ser inversível?

Para uma função ser inversível ela precisar ser sobrejetora e injetora.

Uma função é sobrejetora se o seu contradomínio é igual a imagem.

E, uma função é injetora se:

f x 1 = f x 2 ⇔ x 1 = x 2

Massa! Vamos então analisar se f atende à essas duas condições 😊

Passo 2

Bom, começando pela sobrejetividade, na informação 1 ) o enunciado nos falou que:

f : - 1,4 → I m f

Essa forma de escrever a função, representa de forma geral:

f : D → C D

Ou seja, o primeiro conjunto é o domínio e o segundo é o contradomínio.

Mas, para a nossa f no lugar do C D temos I m ( f ) . Isso, é uma forma de escrever que o contradomínio de f é a sua imagem.

Portanto, concluímos que f é sobrejetora.

Passo 3

Já para analisar a injetividade, precisamos que:

f x 1 = f x 2 ⇔ x 1 = x 2

Mas, pensa comigo, da informação 3 ) o enunciado nos falou que:

f x < - 1

Ou seja, f é sempre decrescente.

Vamos supor então que f não seja injetora, então é verdade que para algum x 1 e x 2 distintos:

f x 1 = f ( x 2 )

Mas, sem perder a generalidade, podemos imaginar que x 1 > x 2 . Assim, como f é decrescente deveríamos ter:

f x 1 < f x 2

Portanto, afirmar f x 1 = f ( x 2 )

é um absurdo matemático.

Ou seja, a nossa hipótese de que f não é injetora está falsa. Portanto, na verdade f é injetora.

UHUUL! Se liga só:

Se f é sobrejetora e também injetora, dizemos então que f possui inversa!

Resposta

Resposta no texto.

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