UFF, Niterói - Praia Vermelha, Cálculo IA, P2 - 2022.2, Questão 4d
Se é uma função diferenciável tal que e em .
d) A função possui inversa? Justifique.
Passo 1
Eaí gente, tudo tranquilinho?
Nessa questão recebemos algumas poucas informações sobre a função . É falado que:
Isso significa que tem como domínio o conjunto .
em
Essa informação é crucial, pois se , também é verdade que . Isso significa que no intervalo a função é sempre decrescente.
Sabendo disso, nesse item precisamos verificar se tem inversa.
Vocês lembram das condições para uma função ser inversível?
Para uma função ser inversível ela precisar ser sobrejetora e injetora.
Uma função é sobrejetora se o seu contradomínio é igual a imagem.
E, uma função é injetora se:
Massa! Vamos então analisar se atende à essas duas condições 😊
Passo 2
Bom, começando pela sobrejetividade, na informação o enunciado nos falou que:
Essa forma de escrever a função, representa de forma geral:
Ou seja, o primeiro conjunto é o domínio e o segundo é o contradomínio.
Mas, para a nossa no lugar do temos . Isso, é uma forma de escrever que o contradomínio de é a sua imagem.
Portanto, concluímos que é sobrejetora.
Passo 3
Já para analisar a injetividade, precisamos que:
Mas, pensa comigo, da informação o enunciado nos falou que:
Ou seja, é sempre decrescente.
Vamos supor então que não seja injetora, então é verdade que para algum e distintos:
Mas, sem perder a generalidade, podemos imaginar que . Assim, como é decrescente deveríamos ter:
Portanto, afirmar
é um absurdo matemático.
Ou seja, a nossa hipótese de que não é injetora está falsa. Portanto, na verdade é injetora.
UHUUL! Se liga só:
Se é sobrejetora e também injetora, dizemos então que possui inversa!
Resposta
Resposta no texto.