Exercícios Resolvidos de Funções Injetoras, Sobrejetoras, Bijetoras e Inversas

Ver Teoria

Enunciado

Mostre que as funções definidas são bijetoras e determine a sua função inversa.

( d )   l : ℝ → ℝ tal que

Passo 1

Eaew, tudo certinho contigo?

Temos a seguinte função

l : ℝ → ℝ tal que

precisamos mostrar que ela é bijetora (injetora e sobrejetora), e achar a sua inversa! As condições para ser injetora e sobrejetora são

  • Uma função injetora tem para cada valor de x um valor de y = l ( x ) .
  • Uma função sobrejetora tem contradomínio igual a sua imagem.
  • A função bijetora é tanto injetora quando sobrejetora

Vamos precisar verificar as condições acima! E encontrar uma função g ( x ) , tal que

l ∘ g = l [ g ( x ) ] = x

Vamos lá!

Passo 2

Temos que nossa função é dada por

Note que ela tem dois intervalos, em que ela é um polinômio de segunda ordem para x ≥ 0 e 2 x para x < 0 . Normalmente, a função x 2 não é injetora, mas como ela só é válida para x ≥ 0 , não há nenhum valor de y = l ( x ) repetido para dois valores de x . Portanto, a função é injetora! Ela tem o contradomínio como todos os reais, se observar o gráfico da função como

verá que a imagem contém todo o contradomínio! Portanto, a função é sobrejetora e, sendo assim, bijetora! Vamos tentar achar a sua inversa!

Passo 3

Queremos uma função composta

l ∘ g = l [ g ( x ) ] = x

Essa relação nos dá para x ≥ 2 para obter

x = [ g ( x ) ] 2

isolando temos que

g ( x ) = ± x

Agora, para x < 0 , temos que

x = 2 [ g ( x ) ]

Isolando g ( x ) , temos que

g ( x ) = x / 2

Sendo assim, a nossa inversa é tal que

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Ao longo dos Passos!

Exercícios de Livros Relacionados

Faça o gráfico da função f x = x 3 + x 2 + x + 1 E explique por que ela é injetora. Use então um sistema de computação algébrica (SCA) para encontrar uma expressão explícita para f - 1 x . (Seu SCA va
Determine o domínio e a imagem da funçãog (x) = sin^(- 1) ( 3 x + 1 )
Encontre o valor exato de cada expressão. arccos ⁡ - 1 2
Encontre o valor exato de cada expressão.(a) cot g - 1 ⁡ - 3
Se f (x) = 3 + x^2 + t g ((pi x)/(2)) , onde - 1x1 . Encontre f^(- 1) (3) . Encontre f (f^(- 1) (5)) .