UFSCAR, Sem Campus, Cálculo 1, Listas Cálculo 1 - UFSCAR - Tarefa 3 - Fundamentos de Probabilidade, Questão 4d
Mostre que as funções definidas são bijetoras e determine a sua função inversa.
tal que
Passo 1
Eaew, tudo certinho contigo?
Temos a seguinte função
tal que
precisamos mostrar que ela é bijetora (injetora e sobrejetora), e achar a sua inversa! As condições para ser injetora e sobrejetora são
- Uma função injetora tem para cada valor de um valor de .
- Uma função sobrejetora tem contradomínio igual a sua imagem.
- A função bijetora é tanto injetora quando sobrejetora
Vamos precisar verificar as condições acima! E encontrar uma função , tal que
Vamos lá!
Passo 2
Temos que nossa função é dada por
Note que ela tem dois intervalos, em que ela é um polinômio de segunda ordem para e para . Normalmente, a função não é injetora, mas como ela só é válida para , não há nenhum valor de repetido para dois valores de . Portanto, a função é injetora! Ela tem o contradomínio como todos os reais, se observar o gráfico da função como
verá que a imagem contém todo o contradomínio! Portanto, a função é sobrejetora e, sendo assim, bijetora! Vamos tentar achar a sua inversa!
Passo 3
Queremos uma função composta
Essa relação nos dá para para obter
isolando temos que
Agora, para , temos que
Isolando , temos que
Sendo assim, a nossa inversa é tal que
A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!
Resposta
Ao longo dos Passos!