UFSC, Sem Campus, Pré-Cálculo, Listas Pré Cálculo - Lista 11, Questão 8
Determine quais das funções abaixo são injetoras. Se a resposta for positiva, determine o conjunto imagem e encontra a função inversa (para isso, considere o contradomínio igual à imagem).
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado nos deu algumas funções pra gente verificar se são injetoras, e se forem, determinar o conjunto imagem e a função inversa de cada uma.
Para isso a gente precisa lembrar que uma função é injetora quaisquer que sejam e no domínio, eles forem diferentes () e nos fornecerem valores de diferentes (). Ou seja, cada elemento do domínio precisa ter um único correspondente no contradomínio.
Pra determinar a função inversa , nós vamos trocar por e por na função e, em seguida, isolar .
Vamos lá!
Passo 2
Para , temos:
A função é injetora, porque quaisquer que sejam e , se , então , nossa imagem é .
Calculando agora função inversa trocando por e por na função:
Isolando , temos:
Logo,
Passo 3
Na letra b), temos , que também é injetora, porque quaisquer que sejam e , se , então . Nossa imagem é sempre positiva, então .
Calculando a inversa, temos:
Logo,
Passo 4
Na letra c), temos , que é muito parecida com o item anterior e é injetora pelos mesmos motivos. Nossa imagem agora engloba número negativos, então . E calculando a inversa, temos:
Elevando os dois lados ao quadrado:
Logo,
Passo 5
Na letra d), temos . A função modular é definida por:
Então, para diferentes valores de podemos ter valores iguais em . Por exemplo, para e . Logo, nossa função não é injetora e, por isso, não possui inversa.
Passo 6
Na letra e), temos . Nossa função é injetora, porque quaisquer que sejam e , se , então . Nossa imagem será .
Calculando a função inversa, temos:
Para isolar chegamos em uma equação do segundo grau:
Usando Bhaskara, temos:
Então, nossa inversa é ou .
Passo 7
Na letra f), temos , que é injetora também, porque quaisquer que sejam e , se , então . Nossa imagem é .
Calculando a função inversa, temos:
Isolando ,
Logo, .
Passo 8
Na letra g), temos , que é injetora também, porque quaisquer que sejam e , se , então . Nossa imagem é .
Calculando a função inversa, temos:
Isolando :
Logo, ou .
Passo 9
Na letra h), temos , que é injetora também, porque quaisquer que sejam e , se , então . Nossa imagem é .
Calculando a função inversa, temos:
Isolando :
Logo, ou .
Prontinho, galera! Até a próxima! 😉
Resposta
a)
b)
c)
d)
e) ou .
f)
g) ou
h) ou