Exercícios Resolvidos de Funções Injetoras, Sobrejetoras, Bijetoras e Inversas

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Enunciado

Determine quais das funções abaixo são injetoras. Se a resposta for positiva, determine o conjunto imagem e encontra a função inversa (para isso, considere o contradomínio igual à imagem).

a) f x = - 2 x + 4

b) f x = x

c) f x = - x

d) f x = x

e) f x = x 2 - 2 x

f) f x = x 3 + 8

g) f x = x 4 + 5

h) f x = x 4 + 4 ,   c o m   0 ≤ x ≤ 2

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu algumas funções pra gente verificar se são injetoras, e se forem, determinar o conjunto imagem e a função inversa de cada uma.

Para isso a gente precisa lembrar que uma função é injetora quaisquer que sejam x 1 e x 2 no domínio, eles forem diferentes ( x 1 ≠ x 2 ) e nos fornecerem valores de y diferentes ( f x 1 ≠ f ( x 2 ) ). Ou seja, cada elemento do domínio precisa ter um único correspondente no contradomínio.

Pra determinar a função inversa f - 1 ( x ) , nós vamos trocar x por y e y por x na função f x = y e, em seguida, isolar y .

Vamos lá!

Passo 2

Para f x = - 2 x + 4 , temos:

A função é injetora, porque quaisquer que sejam x 1 e x 2 ∈ R , se x 1 ≠ x 2 , então f x 1 ≠ f ( x 2 ) , nossa imagem é I m = ( - ∞ ,   ∞ ) .

Calculando agora função inversa trocando x por y e y por x na função:

x = - 2 y + 4

Isolando y , temos:

y = - x - 4 2

Logo,

f - 1 x = - x - 4 2

Passo 3

Na letra b), temos f x = x , que também é injetora, porque quaisquer que sejam x 1 e x 2 ∈ R , se x 1 ≠ x 2 , então f x 1 ≠ f ( x 2 ) . Nossa imagem é sempre positiva, então I m = [ 0 ,   ∞ ) .

Calculando a inversa, temos:

x = y → x 2 = y

Logo,

f - 1 x = x 2

Passo 4

Na letra c), temos f x = - x , que é muito parecida com o item anterior e é injetora pelos mesmos motivos. Nossa imagem agora engloba número negativos, então I m = ( - ∞ ,   ∞ ) . E calculando a inversa, temos:

x = - y

Elevando os dois lados ao quadrado:

( x ) 2 = - y 2 → x 2 = y

Logo,

f - 1 x = x 2

Passo 5

Na letra d), temos f x = x . A função modular é definida por:

f x = x = x ,     s e   x ≥ 0 - x ,     s e   x < 0

Então, para diferentes valores de x podemos ter valores iguais em y . Por exemplo, para f - 2 = - 2 = 2 e f 2 = 2 = 2 . Logo, nossa função não é injetora e, por isso, não possui inversa.

Passo 6

Na letra e), temos f x = x 2 - 2 x . Nossa função é injetora, porque quaisquer que sejam x 1 e x 2 ∈ R , se x 1 ≠ x 2 , então f x 1 ≠ f ( x 2 ) . Nossa imagem será I m = [ - 1 ,   ∞ ) .

Calculando a função inversa, temos:

x = y 2 - 2 y

Para isolar y chegamos em uma equação do segundo grau:

y 2 - 2 y - x = 0

Usando Bhaskara, temos:

y = 2 ± 4 + 4 x 2 = 2 ± 2 1 + x 2 = 1 ± 1 + x

Então, nossa inversa é f - 1 x = 1 + 1 + x ou f - 1 x = 1 - 1 + x .

Passo 7

Na letra f), temos f x = x 3 + 8 , que é injetora também, porque quaisquer que sejam x 1 e x 2 ∈ R , se x 1 ≠ x 2 , então f x 1 ≠ f ( x 2 ) . Nossa imagem é I m = ( - ∞ ,   ∞ ) .

Calculando a função inversa, temos:

x = y 3 + 8

Isolando y ,

y 3 = x - 8 → y = x - 8 3

Logo, f - 1 x = x - 8 3 .

Passo 8

Na letra g), temos f x = x 4 + 5 , que é injetora também, porque quaisquer que sejam x 1 e x 2 ∈ R , se x 1 ≠ x 2 , então f x 1 ≠ f ( x 2 ) . Nossa imagem é I m = [ 5 ,   ∞ ) .

Calculando a função inversa, temos:

x = y 4 + 5

Isolando y :

y 4 = x - 5 → y = ± x - 5 4

Logo, f - 1 x = x - 5 4 ou f - 1 x = - x - 5 4 .

Passo 9

Na letra h), temos f x = x 4 + 4 ,   c o m   0 ≤ x ≤ 2 , que é injetora também, porque quaisquer que sejam x 1 e x 2 ∈ R , se x 1 ≠ x 2 , então f x 1 ≠ f ( x 2 ) . Nossa imagem é I m = [ 4 ,   ∞ ) .

Calculando a função inversa, temos:

x = y 4 + 4

Isolando y :

y 4 = x - 4 → y = ± x - 4 4

Logo, f - 1 x = x - 4 4 ou f - 1 x = - x - 4 4 .

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

a) f - 1 x = - x - 4 2

b) f - 1 x = x 2

c) f - 1 x = x 2

d) N ã o   p o s s u i   i n v e r s a

e) f - 1 x = 1 + 1 + x ou f - 1 x = 1 - 1 + x .

f) f - 1 x = x - 8 3

g) f - 1 x = x - 5 4 ou f - 1 x = - x - 5 4

h) f - 1 x = x - 4 4 ou f - 1 x = - x - 4 4

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