USP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - USP - Lista 1, Questão 7.4
Sejam dada por e sua função inversa. Calcule em termos de . Calcule .
Passo 1
Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos dá uma função e diz que é sua função inversa.
Queremos descobrir em termos de e também queremos , em que é a derivada da função inversa e é a aplicação em .
Para prosseguir, precisamos fazer a função inversa completa e, a partir dela, derivamos para encontrar e .
Não entendeu?? Então bora junto 😉
Passo 2
Bom... se , então, aplicando a regra da potência e a regra do logaritmo natural, temos que sua derivada é dada por:
Sabemos que a derivada da função inversa é dada por:
Como , então a derivada função inversa fica:
Passo 3
Agora, assumindo que temos que é dado por:
Para descobrir quem é , fazemos:
Dessa forma, a inversa é
Portanto, substituindo, temos:
Entendeu direitinho? Responde aee ;)
