Exercícios Resolvidos de Funções Injetoras, Sobrejetoras, Bijetoras e Inversas

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Enunciado

Sejam y = f x dada por f x = x 3 + l n   x   ,   x > 0 e x = g y sua função inversa. Calcule g ' y em termos de g y . Calcule g ' 1 .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos dá uma função f x e diz que x = g y é sua função inversa.

Queremos descobrir g ' y em termos de g y e também queremos g ' 1 , em que g ' ( y ) é a derivada da função inversa g ( y ) e g ' ( 1 ) é a aplicação em x = 1 .

Para prosseguir, precisamos fazer a função inversa completa e, a partir dela, derivamos para encontrar g ' y e g ' 1 .

Não entendeu?? Então bora junto 😉

Passo 2

Bom... se f x = x 3 + l n   x   , então, aplicando a regra da potência e a regra do logaritmo natural, temos que sua derivada é dada por:

f ' x = 3 x 2 + 1 x

Sabemos que a derivada da função inversa g ' x é dada por:

g ' x = 1 f ' g x

Como x = g y , então a derivada função inversa fica:

g ' y = 1 3 g y 2 + 1 g y ∴

g ' y = 1 3 g y 3 g y + 1 g y ∴

g ' y = g y 3 g y 3 + 1

Passo 3

Agora, assumindo que y = 1 temos que g ' 1 é dado por:

g ' 1 = g 1 3 g 1 3 + 1

Para descobrir quem é g 1 , fazemos:

f 1 = 1 3 + ln ⁡ 1 ∴

f 1 = 1

Dessa forma, a inversa é

g 1 = 1

Portanto, substituindo, temos:

g ' 1 = 1 3 1 3 + 1 ∴

g ' 1 = 1 4

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

g ' y = g y 3 g y 3 + 1

g ' 1 = 1 4

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