UFSCAR – Cálculo 1 – Lista 1 – Revisão de Funções – 5c
Encontre uma fórmula para a função inversa
c)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado pediu pra gente encontrar uma fórmula para a inversa da função . Mas o que é uma inversa?
Uma função inversa, como o nome já sugere, é uma função que faz o inverso da função . Como assim? As funções inversas “revertem” umas as outras. Por exemplo, se leva para , então a inversa, , deve levar para :
Ou, em outras palavras, .
No nosso caso, nós temos a lei de formação da função:
E nós precisamos encontrar . Como fazemos isso? Nós temos uma e vamos encontrar a entrada de que corresponde a uma saída . Quer dizer, vamos trocar e de lugar inicialmente, e então isolar para escrever a inversa em forma de função. Vamos lá!
Passo 2
Da nossa função , trocando por , temos:
Agora o que podemos fazer pra isolar ? Podemos inicialmente multiplicar os dois lados por :
Então ele se cancela com o denominador do lado direito:
Aplicando a distributiva do lado esquerdo:
Agora podemos subtrair dos dois lados:
Observe que temos duas vezes do lado direito, então podemos colocá-lo em evidência:
Lembra que queremos isolar o ? Estamos bem perto disso, vamos dividir os dois lados por pra melhorar:
Cancelando os termos iguais do lado direito:
Olha só, já temos de um lado e do outro, só precisamos nos livrar da exponencial agora. Pra tirar o do expoente a gente pode usar o logaritmo natural dos dois lados, que é a inversa da função exponencial . Então, temos:
Pela propriedade do logaritmo, temos:
O logaritmo natural de é , então:
Portanto, a inversa da nossa função é:
É isso, galera! Encerramos o exercício, até a próxima! 😉