Exercícios Resolvidos de Funções Injetoras, Sobrejetoras, Bijetoras e Inversas

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Enunciado

Seja   h ( x )   =   2 x   +   c o s   x . Mostre que h é bijetora e, admitindo h - 1

determine ( h - 1 ) ′ ( 1 ) .

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo 1.

Queremos mostrar que h é bijetora e, admitindo h - 1

determine ( h - 1 ) ′ ( 1 ) . Onde

  h ( x )   =   2 x   +   c o s x .

Para mostrar que a função é bijetora, precisamos mostrar que é injetiva e sobrejetiva

Passo 2

Vamos começar verificando a injetividade. Para isso, vamos derivar h ( x )

  h ' ( x )   =   2   - s i n ( x ) .

Como | s i n ( x ) | ≤ 1

Temos que   h ' ( x ) é sempre positiva, logo nossa função h é crescente, ou seja, será injetiva.

E sua sobrejetividade também segue do fato dela ser crescente e ilimitada

Logo, a função é bijetiva

Passo 3

Agora vamos calcular ( h - 1 ) ' ( x )

Usando a definição de função inversa

h - 1 ( h ( x ) ) = x

Derivando e utilizando a regra da cadeia

( h - 1 ) ' ( h ( x ) ) * h ' ( x ) = 1

⇒ ( h - 1 ) ' ( h ( x ) ) = 1 / h ' ( x )

Como queremos calcular ( h - 1 ) ′ ( 1 ) . Basta tomarmos x = 0 que temos:

( h - 1 ) ' ( h ( 0 ) ) = 1 / h ' ( 0 )

⇒ ⇒ ( h - 1 ) ' ( 1 ) = 1 / 2

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

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