Exercícios Resolvidos de Funções Injetoras, Sobrejetoras, Bijetoras e Inversas

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Enunciado

Encontre uma fórmula para a função inversa

d) f ( x ) = 4 x - 1 2 x + 3

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado pediu pra gente encontrar uma fórmula para a inversa da função f ( x ) . Mas o que é uma inversa?

Uma função inversa, como o nome já sugere, é uma função que faz o inverso da função f ( x ) . Como assim? As funções inversas “revertem” umas as outras. Por exemplo, se f leva a para b , então a inversa, f - 1 , deve levar b para a :

Ou, em outras palavras, f a = b   ⟺ f - 1 b = a .

No nosso caso, nós temos a lei de formação da função:

f ( x ) = 4 x - 1 2 x + 3

E nós precisamos encontrar f - 1 ( x ) . Como fazemos isso? Nós vamos chamar f x = y e encontrar a entrada de f que corresponde a uma saída y . Quer dizer, vamos trocar x e y de lugar inicialmente, e então isolar y para escrever a inversa em forma de função. Vamos lá!

Passo 2

Da nossa função f ( x ) = 4 x - 1 2 x + 3 , temos:

y = 4 x - 1 2 x + 3

Trocando x por y , temos:

x = 4 y - 1 2 y + 3

Agora o que podemos fazer pra isolar y ? Podemos inicialmente multiplicar os dois lados por 2 y + 3 :

( 2 y + 3 ) x = 4 y - 1 2 y + 3 2 y + 3

Então ele se cancela com o denominador do lado direito:

2 y + 3 x = 4 y - 1

Aplicando a distributiva do lado esquerdo, temos:

2 x y + 3 x = 4 y - 1

A gente quer isolar o y , certo? Então, vamos colocar todo mundo que tem y no mesmo lado da equação, basta a gente passar pro outro lado trocando o sinal:

2 x y - 4 y = - 3 x - 1

Percebe que nós temos dois termos com y do lado esquerdo? Então vamos colocá-lo em evidência:

y 2 x - 4 = - 3 x - 1

Agora basta dividir os dois lados por ( 2 x - 4 ) :

y ( 2 x - 4 ) 2 x - 4 = - 3 x - 1 2 x - 4

Cancelando os termos iguais do lado esquerdo, temos:

y = - 3 x - 1 2 x - 4

Portanto, a inversa da nossa função é:

f - 1 x = - 3 x - 1 2 x - 4

É isso, galera! Encerramos o exercício, até a próxima! 😉

Resposta

f - 1 x = - 3 x - 1 2 x - 4

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