Exercícios Resolvidos de Funções Injetoras, Sobrejetoras, Bijetoras e Inversas

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Enunciado

Seja f a função definida por

f x = exp ⁡ s e n 3 x

Considere D o m f = π 6 , π 2 .

(a) Mostre que a função f (definida no domínio acima) é inversível.

(b) Determine f - 1 1

Dica: Não é necessário determinar a expressão da função inversa de f

(c) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f - 1 em x = 1

Passo 1

Teorema da função inversa:

Seja f : O → R uma função de classe C 1 num domínio O aberto. Se x 0 ∈ O e f ' ( x 0 ) ≠ 0 , então existe um intervalo ( x 0 - h , x 0 + h ) ⊆ O onde f é injetora e, portanto, sobrejetiva em sua imagem.

Assim temos que

d f - 1 y d x ​ y = f x = d d x f x - 1

Passo 2

(a) Bom, para usarmos o teorema da função inversa, primeiro vamos calcular a derivada de nossa f , assim temos que

f ' x = exp ⁡ s e n 3 x ⋅ cos ⁡ 3 x ⋅ 3

Regra da cadeia, nunca esqueã hahaha.

Então perceba que, no domínio dado, temos que nossa função só será nula em x = π 6 e x = π 2 . Entretanto, nosso intervalo é dito aberto, logo então interessados em

] π 6 , π 2 [

Na qual nossa função sempre será diferente de 0 . Logo pelo teorema da Função inversa, nossa função é inversível.

Passo 3

(b) Agora que sabemos que nossa função permite inversa, qual é ela ? Seguindo nossa dica, não precisamos necessariamente saber para calcularmos f - 1 1 . Será?

Seja a = f - 1 1 , então temos que

f a = f f - 1 1

Na qual temos que f f - 1 x = x , portanto

f a = 1

Legal, mas quem é a ?

Bom,

f a = exp ⁡ s e n 3 a = 1

Passando l n dos dois lados

s e n 3 a = 0

Lembra? ln ⁡ exp ⁡ x = x e ln ⁡ 1 = 0 . Claro que lembra hahahah oO.

Então temos que

3 a = a r c s e n   0 = n π

O que implica que

a = n π 3

Com n um número inteiro. Olhando para o nosso intervalo, temos que o único valor possível é n = 1 , ou seja

a = π 3

Passo 4

(c) Hummmm ... reta tangente ... da função inversa... então vamos lembra como se escreve a reta tangente

y = f ' x 0 x - x 0 + f x 0

Entretanto, queremos a reta tangente da função inversa, e além disso aplicada no ponto x = 1 , então

y = f - 1 1 ' x - 1 + f - 1 1

Mas a pergunta é, quanto vale a derivada da nossa função inversa, aplicada em 1

Tome que pelo nosso teorema da função inversa

f - 1 1 ' = 1 f ' π 3 = 1 exp ⁡ s e n π cos ⁡ π 3 = 1 3  

Assim temos que

y = 1 3 x - 1 + π 3

Resposta

(b) a = π / 3

(c) y = 1 3 x - 1 + π 3

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