Prova Cálculo B MAT1158 P2
Seja a função definida por
Considere .
(a) Mostre que a função (definida no domínio acima) é inversível.
(b) Determine
Dica: Não é necessário determinar a expressão da função inversa de
(c) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de em
Passo 1
Teorema da função inversa:
Seja uma função de classe num domínio aberto. Se e , então existe um intervalo ( onde é injetora e, portanto, sobrejetiva em sua imagem.
Assim temos que
Passo 2
(a) Bom, para usarmos o teorema da função inversa, primeiro vamos calcular a derivada de nossa , assim temos que
Regra da cadeia, nunca esqueã hahaha.
Então perceba que, no domínio dado, temos que nossa função só será nula em e . Entretanto, nosso intervalo é dito aberto, logo então interessados em
Na qual nossa função sempre será diferente de . Logo pelo teorema da Função inversa, nossa função é inversível.
Passo 3
(b) Agora que sabemos que nossa função permite inversa, qual é ela ? Seguindo nossa dica, não precisamos necessariamente saber para calcularmos . Será?
Seja , então temos que
Na qual temos que , portanto
Legal, mas quem é ?
Bom,
Passando dos dois lados
Lembra? e . Claro que lembra hahahah oO.
Então temos que
O que implica que
Com um número inteiro. Olhando para o nosso intervalo, temos que o único valor possível é , ou seja
Passo 4
(c) Hummmm ... reta tangente ... da função inversa... então vamos lembra como se escreve a reta tangente
Entretanto, queremos a reta tangente da função inversa, e além disso aplicada no ponto , então
Mas a pergunta é, quanto vale a derivada da nossa função inversa, aplicada em
Tome que pelo nosso teorema da função inversa
Assim temos que
Resposta
(b)
(c)