Exercícios Resolvidos de Funções Injetoras, Sobrejetoras, Bijetoras e Inversas

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Enunciado

8. Seja f x = x 2 - 3 x - 4 . Em qual dos domínios abaixo f é injetora?

  1. 3 2 , ∞
  2. - ∞ , 3 2
  3. - 1 , 3 2
  4. - 1,4
  5. - 1,4

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós temos que achar o intervalo do domínio de uma função, onde ela será injetora.

Para quem não lembra, uma função f é injetora se para dois pontos quaisquer pertencentes ao domínio de f : x 1 ≠ x 2

Tivermos:

f x 1 ≠ f ( x 2 )

Ou seja, temos que achar o domínio, onde para uma f x não exista mais de um x possível.

Agora bora analisar!

Passo 2

Nossa função é o módulo de uma equação do segundo grau.

f x = x 2 - 3 x - 4

O perfil do gráfico de uma equação de segundo grau é uma parábola, ou seja, essa função só seria injetora em uma metade da parábola.

Para visualizar melhor a parábola, vamos fazer o gráfico da função x 2 - 3 x - 4 .

Primeiro, vamos achar x = 0

f 0 = - 4

Agora vamos achar os pontos onde x 2 - 3 x - 4 = 0 . Para isso, vamos aplicar Bhaskara,

x = + 3 ± ( - 3 ) 2 - 4 1 - 4 2 1

x = + 3 ± 25 2 = + 3 ± 5 2

Logo, a função intercepta o eixo x em

x 1 = 4

E

x 2 = - 1

O gráfico ficaria assim,

Mas, então, galerinha, nós temos uma função módulo! Logo toda essa parte negativa (abaixo de do eixo x ) será positiva.

Então nossa função ficará assim:

Passo 3

Agora que já conhecemos a cara da função, temos que dizer onde que é o domínio da parte injetora (ou seja, que só tenhamos uma f x para cada x )

Repara então que a nossa função so sera injetora nas seguintes regiões:

Logo, pelas opções disponíveis o nosso domínio será - 1 , 3 2 .

Resposta

c

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