4. Seja a função definida por
Podemos afirmar que:
- é sobrejetora mas não é injetora;
- é injetora mas não é sobrejetora;
- é bijetora;
- ;
- Nenhuma das afirmações anteriores é verdadeira
Passo 1
Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós temos que verificar qual frase é verdade, com base na função dada. Repare que as afirmações são sobre funções sobrejetoras e injetoras. Então vamos revisar essas definições!
Para quem não lembra.
- Uma função é injetora se para dois pontos quaisquer pertencentes ao domínio de :
Tivermos:
- Uma função é sobrejetora se para cada valor de existir ao menos um valor de associado:
Agora bora analisar por partes!
Passo 2
Começando com . Neste caso temos que
Temos uma função do primeiro grau! E toda função do primeiro grau é injetora e sobrejetora, ou seja, temos uma função bijetora.
Logo essa parte é bijetora!
Passo 3
Já no intervalo temos o seguinte comportamento,
Polinômios do segundo grau não são funções injetoras, pois para um diferentes temos o mesmo .
Mas repara que ela só tem esse comportanto em um intervalo, então pode ser que neste interval ela seja injetora.
Para descobrir se ela é injetora ou não, temos que encontrar dois valores de que possuem o mesmo . Como essa função tem uma parte negativa e uma positiva, podemos pensar em e .
Opaaa, confirmamos que essa parte não é injetora. Logo a nossa função é injetora.
Passo 4
Agora, para avaliar se essa parte é sobrejotra, temos que verificar que se o valor de em é igual se calcularmos pela primeira parte e segunda parte.
A primeira parte é
Logo,
Já a segunda parte é
Logo,
Então até agora a nossa função não é injetora, mas é sobrejetora.
Passo 5
Para avaliar a terceira parte, só precisamos descobrir se ela parte é sobrejotra, pois já sabemos que a função é injetora, já que temos uma parte que não é injetora.
Vamos verificar se o valor de em é igual se calcularmos pela segunda parte e terceira parte.
A segunda parte é
Logo,
Já a terceira parte,
Logo,
Ou seja, pode haver um ponto de que não há um ponto de correspondente. Então a nossa função não é injetora, nem sobrejetora.
Passo 6
Por fim, só nos resta saber se é verdadeira.
Acabamos de calcular . Agora precisamos calcular .
Para isso, vamos usar a segunda parte,
Opaaa! A afirmação está errado. Logo nenhuma das alternativas é verdadeira.