Exercícios Resolvidos de Funções Injetoras, Sobrejetoras, Bijetoras e Inversas

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Enunciado

Mostre que as funções definidas são bijetoras e determine a sua função inversa.

( a )   f : ℝ → ℝ tal que f ( x ) = 2 x - 5 .

Passo 1

Eaew, tudo certinho contigo?

Temos a seguinte função

f : ℝ → ℝ tal que f ( x ) = 2 x - 5 .

precisamos mostrar que ela é bijetora (injetora e sobrejetora), e achar a sua inversa! As condições para ser injetora e sobrejetora são

  • Uma função injetora tem para cada valor de x um valor de y = f ( x ) .
  • Uma função sobrejetora tem contradomínio igual a sua imagem.
  • A função bijetora é tanto injetora quando sobrejetora

Vamos precisar verificar as condições acima! E encontrar uma função g ( x ) , tal que

g ∘ f = g [ f ( x ) ] = x

Vamos lá!

Passo 2

Temos que nossa função é ser um polinômio de primeira ordem, ela é por definição injetora, já que todo valor de x colocado, note que o contradomínio aqui são os reais, e o gráfico da função acima é

a imagem é todos os reais, assim como o contradomínio. Portanto, a função é bijetora! Vamos procurar agora inversa!

Passo 3

Queremos uma função composta

f ∘ g = f [ g ( x ) ] = x

Essa relação nos dá que

x = 2 [ g ( x ) ] - 5

Portanto, podemos escrever que

g ( x ) = x + 5 2

Que será a nossa inversa! A primeira alternativa foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Ao longo dos Passos!

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Determine o domínio e a imagem da funçãog (x) = sin^(- 1) ( 3 x + 1 )
Encontre o valor exato de cada expressão. arccos ⁡ - 1 2
Encontre o valor exato de cada expressão.(a) cot g - 1 ⁡ - 3
Se f (x) = 3 + x^2 + t g ((pi x)/(2)) , onde - 1x1 . Encontre f^(- 1) (3) . Encontre f (f^(- 1) (5)) .