Exercícios Resolvidos de Funções Injetoras, Sobrejetoras, Bijetoras e Inversas

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Enunciado

Todas as funções abaixo são injetoras (verifique!). Encontre a inversa dessas funções (assumindo contradomínio igual ao conjunto imagem).

a) f x = 2 x + 1

b) f x = 5 - 4 x 3

c) f x = 1 x 2 ,   c o m   x ≥ 0

d) f x = 1 x + 2

e) f x = x - 2 x + 2

f) f x = 4 x - 2 3 x + 1

g) f x = 2 x + 5

h) f x = x 2 + x ,   c o m   x ≥ - 1 / 2

i) f x = 4 - x 2 ,   c o m   x ≤ 0

j) f x = 1 + 1 + x

k) f x = 9 - x 2 ,   c o m   0 ≤ x ≤ 3

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu algumas funções injetoras e pediu pra gente calcular a função inversa de cada uma.

Para isso a gente precisa lembrar que uma função é injetora quando quaisquer que sejam x 1 e x 2 no domínio, eles forem diferentes ( x 1 ≠ x 2 ) e nos fornecerem valores de y diferentes ( f x 1 ≠ f ( x 2 ) ).

Pra determinar a função inversa f - 1 ( x ) , nós vamos trocar x por y e y por x na função f x = y e, em seguida, isolar y para obter f - 1 ( x ) .

Vamos lá!

Passo 2

Para f x = 2 x + 1 , temos:

A função é injetora, porque quaisquer que sejam x 1 e x 2 ∈ R , se x 1 ≠ x 2 , então f x 1 ≠ f ( x 2 ) .

Calculando a função inversa trocando x por y e y por x na função:

x = 2 y + 1

Isolando y , temos:

y = x - 1 2

Logo,

f - 1 x = x - 1 2

Passo 3

Na letra b), temos f x = 5 - 4 x 3 , que também é injetora, porque quaisquer que sejam x 1 e x 2 ∈ R , se x 1 ≠ x 2 , então f x 1 ≠ f ( x 2 ) .

Calculando a inversa, temos:

x = 5 - 4 y 3

Logo, isolando y ,

f - 1 x = 5 - x 4 3

Passo 4

Na letra c), temos f x = 1 x 2 ,   c o m   x ≥ 0 , que é injetora pelos mesmos motivos dos itens anteriores. E calculando a inversa, temos:

x = 1 y 2 → y 2 = 1 x

Elevando os dois lados ao quadrado, temos:

y = ± 1 x

Mas nossa função é definida para x ≥ 0 , portanto, nossa função inversa será só a parte positiva:

f - 1 x = 1 x

Passo 5

Na letra d), temos f x = 1 x + 2 , que também é injetora. Calculando a inversa, temos:

x = 1 y + 2

Vamos isolar y :

x y + 2 = 1

y + 2 = 1 x → y = 1 x - 2

Colocando no mesmo denominador, temos:

f - 1 x = y = 1 - 2 x x

Passo 6

Na letra e), temos f x = x - 2 x + 2 . Nossa função é injetora, porque quaisquer que sejam x 1 e x 2 ∈ R , se x 1 ≠ x 2 , então f x 1 ≠ f ( x 2 ) .

Calculando a função inversa, temos:

x = y - 2 y + 2

Vamos isolar y :

x y + 2 = y - 2

x y - y = - 2 - 2 x →     y x - 1 = - 2 x - 2

y = - 2 x - 2 x - 1

E temos nossa inversa:

f - 1 x = - 2 x - 2 x - 1

Passo 7

Na letra f), temos f x = 4 x - 2 3 x + 1 , que é injetora também, e calculando a função inversa, temos:

x = 4 y - 2 3 y + 1

Vamos multiplicar 3 y + 1 dos dois lados, pra isolar y :

x 3 y + 1 = 4 y - 2

3 y x + x = 4 y - 2

3 y x - 4 y = - x - 2

Colocando y em evidência:

y 3 x - 4 = - x - 2

E temos nossa função inversa:

f - 1 x = y = - x - 2 3 x - 4

Passo 8

Na letra g), temos f x = 2 x + 5 , que é injetora também, porque quaisquer que sejam x 1 e x 2 ∈ R , se x 1 ≠ x 2 , então f x 1 ≠ f ( x 2 ) .

Calculando a função inversa, temos:

x = 2 y + 5

Elevando os dois lados ao quadrado:

x 2 = 2 y + 5

Isolando y :

y = x 2 - 5 2

Logo, f - 1 x = x 2 - 5 2 .

Passo 9

Na letra h), temos f x = x 2 + x ,   c o m   x ≥ - 1 / 2 , que é injetora também, porque quaisquer que sejam x 1 e x 2 ∈ R , se x 1 ≠ x 2 , então f x 1 ≠ f ( x 2 ) .

Calculando a função inversa, temos:

x = y 2 + y

E temos uma equação do segundo grau:

y 2 + y - x = 0

Vamos encontrar y usando Bhaskara:

y = - 1 ± 1 + 4 x 2

Logo, f - 1 x = - 1 + 1 + 4 x 2 ou f - 1 x = - 1 - 1 + 4 x 2 .

Passo 10

Na letra i), temos f x = 4 - x 2 ,   c o m   x ≤ 0 , que também é injetora. Vamos calcular nossa inversa, primeiro substituindo x por y :

x = 4 - y 2

Isolando y :

y 2 = 4 - x

Elevando os dois lados ao quadrado:

y = ± 4 - x

Como x ≥ 0 , nossa função vai ser sempre positiva, e temos:

f - 1 x = 4 - x

Passo 11

Na letra j), temos f x = 1 + 1 + x , que também é injetora, e calculando a inversa, temos:

x = 1 + 1 + y

x - 1 = 1 + y

Elevando os dois lados ao quadrado:

x - 1 2 = 1 + y 2

x 2 - 2 x + 1 = 1 + y

Isolando y , temos:

y = f - 1 ( x ) = x 2 - 2 x

Passo 12

Na letra k), temos f x = 9 - x 2 ,   c o m   0 ≤ x ≤ 3 . Calculando a inversa, temos:

x = 9 - y 2

Elevando os dois lados ao quadrado:

x 2 = 9 - y 2

Isolando y , temos:

y = ± 9 - x 2

Logo, como 0 ≤ x ≤ 3 , nossa inversa será f - 1 x = 9 - x 2 .

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

a) f - 1 x = x - 1 2

b) f - 1 x = 5 - x 4 3

c) f - 1 x = 1 x

d) f - 1 x = 1 - 2 x x

e) f - 1 x = - 2 x - 2 x - 1

f) f - 1 x = - x - 2 3 x - 4

g) f - 1 x = x 2 - 5 2

h) f - 1 x = - 1 + 1 + 4 x 2 ou f - 1 x = - 1 - 1 + 4 x 2 .

i) f - 1 ( x ) = 4 - x

j) f - 1 ( x ) = x 2 - 2 x

k) f - 1 x = 9 - x 2

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