UFSC, Sem Campus, Pré-Cálculo, Listas Pré Cálculo - Lista 11, Questão 9
Todas as funções abaixo são injetoras (verifique!). Encontre a inversa dessas funções (assumindo contradomínio igual ao conjunto imagem).
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado nos deu algumas funções injetoras e pediu pra gente calcular a função inversa de cada uma.
Para isso a gente precisa lembrar que uma função é injetora quando quaisquer que sejam e no domínio, eles forem diferentes () e nos fornecerem valores de diferentes ().
Pra determinar a função inversa , nós vamos trocar por e por na função e, em seguida, isolar para obter .
Vamos lá!
Passo 2
Para , temos:
A função é injetora, porque quaisquer que sejam e , se , então .
Calculando a função inversa trocando por e por na função:
Isolando , temos:
Logo,
Passo 3
Na letra b), temos , que também é injetora, porque quaisquer que sejam e , se , então .
Calculando a inversa, temos:
Logo, isolando ,
Passo 4
Na letra c), temos , que é injetora pelos mesmos motivos dos itens anteriores. E calculando a inversa, temos:
Elevando os dois lados ao quadrado, temos:
Mas nossa função é definida para , portanto, nossa função inversa será só a parte positiva:
Passo 5
Na letra d), temos , que também é injetora. Calculando a inversa, temos:
Vamos isolar :
Colocando no mesmo denominador, temos:
Passo 6
Na letra e), temos . Nossa função é injetora, porque quaisquer que sejam e , se , então .
Calculando a função inversa, temos:
Vamos isolar :
E temos nossa inversa:
Passo 7
Na letra f), temos , que é injetora também, e calculando a função inversa, temos:
Vamos multiplicar dos dois lados, pra isolar :
Colocando em evidência:
E temos nossa função inversa:
Passo 8
Na letra g), temos , que é injetora também, porque quaisquer que sejam e , se , então .
Calculando a função inversa, temos:
Elevando os dois lados ao quadrado:
Isolando :
Logo, .
Passo 9
Na letra h), temos , que é injetora também, porque quaisquer que sejam e , se , então .
Calculando a função inversa, temos:
E temos uma equação do segundo grau:
Vamos encontrar usando Bhaskara:
Logo, ou .
Passo 10
Na letra i), temos , que também é injetora. Vamos calcular nossa inversa, primeiro substituindo por :
Isolando :
Elevando os dois lados ao quadrado:
Como , nossa função vai ser sempre positiva, e temos:
Passo 11
Na letra j), temos , que também é injetora, e calculando a inversa, temos:
Elevando os dois lados ao quadrado:
Isolando , temos:
Passo 12
Na letra k), temos . Calculando a inversa, temos:
Elevando os dois lados ao quadrado:
Isolando , temos:
Logo, como, nossa inversa será .
Prontinho, galera! Até a próxima! 😉
Resposta
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h) ou .
i)
j)
k)