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Exercícios Resolvidos de Calculando Autovalores e Autovetores

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Enunciado

Calcular os autovalores e os correspondentes autovetores próprios das seguintes matrizes:

a   A = 2 1 3 4

b   A = 3 - 1 - 3 0 2 - 3 0 0 - 1

c   A = 3 3 - 2 0 - 1 0 8 6 - 5

d   A = 0 0 2 0 - 1 0 2 0 0

Passo 1

a Fazemos det ⁡ ( A - λ I ) = 0 :

2 - λ 1 3 4 - λ = 0

2 - λ ∙ 4 - λ - 3 = 0

λ 2 - 6 λ + 5 = 0

Δ = 36 - 4 ∙ 1 ∙ 5 = 16

λ = 6 ± 16 2 = 5   o u   1

Então temos dois altovalores λ = 1 e λ = 5 .

Passo 2

Primeiro para λ = 1 . Resolvendo o sistema homogêneo A - λ I v → = 0 → :

2 - 1 1 3 4 - 1 x y = 0 0

1 1 3 3 x y = 0 0

Escalonando a matriz aumentada:

1 1 3 3 0 0 → L 2 ← L 2 - 3 L 1 1 1 0 0 0 0

Fazemos x = t e temos:

x = t

x + y = 0 ⇒ y = - t

A solução é o autoespaço que possui vetores da forma:

t - t

Então o autoespaço associado ao autovalor 1 é:

1 , - 1

Passo 3

Agora o fazemos o mesmo para o autovalor λ = 5 :

2 - 5 1 3 4 - 5 x y = 0 0

- 3 1 3 - 1 x y = 0 0

Escalonando a matriz aumentada:

- 3 1 3 - 1 0 0 → L 2 ← L 2 + L 1 - 3 1 0 0 0 0

Fazemos x = t e temos:

x = t

- 3 x + y = 0 ⇒ y = 3 t

A soluç��o é o autoespaço que possui vetores da forma:

t 3 t

Então o autoespaço associado ao autovalor 5 é:

1,3

Passo 4

b   Fazendo det ⁡ ( A - λ I ) = 0 :

3 - λ - 1 - 3 0 2 - λ - 3 0 0 - 1 - λ = 0

det ⁡ A - λ I = 3 - λ   2 - λ - 3 0 - 1 - λ = 0

3 - λ 2 - λ - 1 - λ = 0

Então, os autovalores são λ = 3 , λ = 2 e λ = - 1 .

Passo 5

Agora temos que calcular os autoespaços associados a cada um dos autovalores.

Vamos calcular o do λ = - 1 .

Resolvendo o sistema homogêneo A - λ I v → = 0 → :

3 + 1 - 1 - 3 0 2 + 1 - 3 0 0 - 1 + 1 x y z = 0 0 0

4 - 1 - 3 0 3 - 3 0 0 0 x y z = 0 0 0

A matriz já está escalonada. Igualando z = t , temos o sistema:

4 x - y - 3 z = 0 ⇒ x = t 3 y - 3 z = 0 ⇒ y = t z = t

A solução então é:

x y z = t t t

1,1 , 1

Esse é o autoespaço associado ao autovalor!

Passo 6

Para λ = 2 :

3 - 2 - 1 - 3 0 2 - 2 - 3 0 0 - 1 - 2 x y z = 0 0 0

1 - 1 - 3 0 0 - 3 0 0 - 3 x y z = 0 0 0

Descartamos a terceira linha já que é igual à segunda:

1 - 1 - 3 0 0 - 3 0 0 0 0 0 0

Seja t = x , temos o sistema:

x - y - 3 z = 0 ⇒ t = y - 3 z = 0 ⇒ z = 0 x = t

A solução fica:

x y z = t t 0

N u c A - 2 I = 1,1 , 0

Esse é o autoespaço associado a λ = 2 ! =D

Passo 7

Para λ = 3 :

3 - 3 - 1 - 3 0 2 - 3 - 3 0 0 - 1 - 3 x y z = 0 0 0

0 - 1 - 3 0 - 1 - 3 0 0 - 4 x y z = 0 0 0

Podemos eliminar a segunda linha já que é igual à primeira:

0 - 1 - 3 0 0 0 0 0 - 4 0 0 0

Fazemos então x = t .

Aí é só resolver o sistema:

- y - 3 z = 0 ⇒ y = 0 - 4 z = 0 ⇒ z = 0 x = t

Substituindo:

t 0 0

Então

N u c A - 3 I = 1 0 0

Esse é o autoespaço associado a autovalor 3 .

Passo 8

c   Fazendo det ⁡ ( A - λ I ) = 0 :

3 - λ 3 - 2 0 - 1 - λ 0 8 6 - 5 - λ = 0

det ⁡ A - λ I = - 1 - λ   3 - λ - 2 8 - 5 - λ = 0

- 1 - λ 3 - λ - 5 - λ + 16 = 0

- 1 - λ λ 2 + 2 λ + 1 = 0

- 1 - λ λ + 1 2 = 0

Então, o único autovalor é λ = - 1 .

Passo 9

Agora temos que calcular o autoespaço associado ao autovalor λ = - 1 .

Resolvendo o sistema homogêneo A - λ I v → = 0 → :

3 + 1 3 - 2 0 - 1 + 1 0 8 6 - 5 + 1 x y z = 0 0 0

4 3 - 2 0 0 0 8 6 - 4 x y z = 0 0 0

A terceira linha é o dobro da primeira. Excluindo ela temos:

4 3 - 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Fazendo x = t e y = s temos:

4 x + 3 y - 2 z = 0 ⇒ z = 4 t + 3 s 2 x = t y = s

A solução então é:

x y z = t s 4 t + 3 s 2

E o autoespaço associado ao autovalor é:

1,0 , 2 , 0,2 , 3

Repare que temos duas “direções” associadas ao autovalor. Não há nenhum problema com isso, já que podemos ter um autovalor associado à mais de um autovetor. O que não pode acontecer é o contrário ;)

Passo 10

d   Fazendo det ⁡ ( A - λ I ) = 0 :

0 - λ 0 2 0 - 1 - λ 0 2 0 0 - λ = 0

det ⁡ A - λ I = - 1 - λ   - λ 2 2 - λ = 0

- 1 - λ - λ 2 - 4 = 0

- 1 - λ λ 2 - 4 = 0

- 1 - λ λ + 2 λ - 2 = 0

Então, os autovalores são λ = - 1 , λ = 2 e λ = - 2 .

Passo 11

Agora temos que calcular os autoespaços associados a cada um dos autovalores.

Vamos calcular o do λ = - 2 .

Resolvendo o sistema homogêneo A - λ I v → = 0 → :

0 + 2 0 2 0 - 1 + 2 0 2 0 0 + 2 x y z = 0 0 0

2 0 2 0 1 0 2 0 2 x y z = 0 0 0

A terceira linha é igual à primeira, então podemos eliminá-la:

2 0 2 0 1 0 0 0 0 0 0 0

Seja z = t , chegamos no sistema:

2 x + 2 z = 0 ⇒ x = - t y = 0 z = t

A solução então é:

x y z = - t 0 t

- 1,0 , 1

Esse é o autoespaço associado ao autovalor!

Passo 12

Para λ = 2 :

0 - 2 0 2 0 - 1 - 2 0 2 0 0 - 2 x y z = 0 0 0

- 2 0 2 0 - 3 0 2 0 - 2 x y z = 0 0 0

A terceira linha é igual à primeira multiplicada por - 1 , então podemos eliminá-la:

- 2 0 2 0 - 3 0 0 0 0 0 0 0

Seja t = z . Ficamos com o sistema:

- 2 x + 2 z = 0 ⇒ x = t - 3 y = 0 z = t

A solução fica:

x y z = t 0 t

N u c A - 2 I = 1,0 , 1

Esse é o autoespaço associado a λ = 2 ! =D

Passo 13

Para λ = - 1 :

0 + 1 0 2 0 - 1 + 1 0 2 0 0 + 1 x y z = 0 0 0

1 0 2 0 0 0 2 0 1 x y z = 0 0 0

Escalonando a matriz aumentada:

1 0 2 0 0 0 2 0 1 0 0 0 → L 3 ← L 3 - 2 L 1 1 0 2 0 0 0 0 0 - 3 0 0 0

Fazendo y = t chegamos no sistema:

x + 2 z = 0 ⇒ x = 0 - 3 z = 0 ⇒ z = 0 y = t

Logo, temos como solução:

0 t 0

Então

N u c A - 3 I = 0 1 0

Esse é o autoespaço associado a autovalor - 1 .

Resposta

a   Autovalor λ = 1 e autoespaço 1 , - 1

Autovalor λ = 5 e autoespaço 1,3

b   Autovalor λ = - 1 e autoespaço 1,1 , 1

Autovalor λ = 2 e autoespaço 1,1 , 0

Autovalor λ = 3 e autoespaço 1 ,   0,0

c   Autovalor λ = - 1 e autoespaço 1,0 , 2 , 0,2 , 3

d   Autovalor λ = - 1 e autoespaço 0,1 , 0

Autovalor λ = - 2 e autoespaço - 1,0 , 1

Autovalor λ = 2 e autoespaço 1,0 , 1

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