UFES. Álgebra Linear. Prova: P2 Tarde. 2017.2. Questão: 6B.
Seja .
(b) Determine bases para os autoespaços correspondentes a cada autovalor.
Passo 1
Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉
No item a) dessa questão, vimos que os autovalores associados à matriz , são e . A questão nos pediu para calcular a base para os autoespaço que corresponde a cada autovalor, ou seja, vamos usar a fórmula onde será nossa base.
Temos
Após calcular vamos substituir os valores de suas coordenadas pelas bases canônicas de , assim vamos encontrar os vetores bases que procuramos.
Tá confuso? não se preocupe, no final vai tudo fazer sentido!
Passo 2
Primeiro vamos calcular a base para o autovalor , onde
Escrevendo em sistema de equações, temos
Vemos que as três equações dependem de e , portanto substituindo os valores dos vetores canônicos e
Para o vetor nossas coordenadas de são
Nossa primeira base é
Para o vetor nossas coordenadas de são
Nossa segunda base é
Portanto, as bases associadas ao autoespaço do autovalor , são
e
Pegou a ideia? 😁
Passo 3
Fazendo o mesmo procedimento para o autovalor , temos
Em sistema de equações, temos
Com isso, encontramos o vetor , já que está indefinido nas equações e e são .
Nesta parte é muito fácil esquecer as coordenadas que não aparecem nas equações resultantes, como no nosso caso, o , então todo cuidado é pouco.
Enfim encontramos as bases associadas aos autovalores de .
É isso! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍
Resposta
Para : e
Para :