Exercícios Resolvidos de Calculando Autovalores e Autovetores

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Enunciado

Autovalores e Autovetores de uma matriz

Seja uma matriz .

Assinale a afirmativa VERDADEIRA:

pode ter apenas um autovetor

sempre possui dois autovetores linearmente independentes

sempre possui dois autovetores

pode não ter autovetores

Passo 1

Lembra que quando achamos um autovetor na verdade achamos um autoespaço? Porque todos os múltiplos do vetor também são autovetores! Então a não pode ser!

Repare que se a for verdadeira a também será! Se sempre tiver dois autovetores linearmente independentes ela sempre terá dois autovetores haha. Como não podemos ter duas certas a não pode ser!

Sobraram a e a . Bom, a verdadeira é a . Para que tenha autovetores, o sistema deve ter raízes. Se ele não tiver, não há autovetores.

Vamos parar de pensar nisso matematicamente um pouco. Autovetores são direções preservadas pela matriz certo?? Então se pegarmos a matriz que representa a rotação de no por exemplo. Nenhuma direção é preservada concorda? Então ela não terá autovetores! Essa é a certa.

Resposta

Letra

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Determinar valores próprios do operador linear T : V → V do R 4 que é definido em uma base { e 1 ,..., e n } por T e i = λ i ∈ R .

Achar os valores e os vetores próprios do operador T do IR 2 dado por:T(x, y) = (x + y, x - y);

Calcular o polinômio característico e os valores próprios da matriz: 2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 1 1 0 0 - 2 4

Seja 1 1 0 1 a matriz de um operador do R 2 . Ache os valores próprios de T . Existem, neste caso, dois vetores próprios linearmente independentes?

Provar que se λ é valor próprio de T, então λ n é valor próprio de T n . Generalizando, se p(t) é um polinômio então p ( λ ) é valor próprio de p(T), onde p T =a 0 1+ a 1 T+ . . .+a n T n se p ( t )=a