Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Calculando Autovalores e Autovetores

Ver Teoria
Exercício 4123567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950515253545556

Enunciado

USP Álgebra Linear 2 P2 2016

Seja 𝑉   um espaço vetorial de dimensão 24   e 𝑇 : 𝑉 → 𝑉   um operador linear. Denote por 𝐼   o operador identidade de 𝑉   . Considere as seguintes afirmações.

  1. Se 1   é autovalor de 𝑇   , então a dimensão da é menor ou igual à 23  

  2. 𝑇   Tem pelo menos um autovalor

  3. 𝑇   Tem no máximo 24   autovalores

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? Vamos para mais uma questão de Algelin. Essa é bem bacana, pois é uma questão teórica

Nosso objetivo é verificar quais das alternativas estão corretas. Então vamos lá

Passo 2

Como de costume, vamos relembrar as definições de autovalor e autovetor. Vocês lembram deles?

Por definição, os autovalores são as raízes do polinômio característico. Esse polinômio é:

𝑝 𝑡   =   d e t d e t   𝐴   −   𝑡 𝐼  

E os autovetores associados ao autovalor 𝑡   é:

𝑣   |   𝐴 𝑣   =   𝑡 𝑣  

Isto é

𝐴 𝑣   −   𝑡 𝑣   =   0  

Então

𝐴   −   𝑡 𝐼 𝑣   =   0

Logo

𝑣   ∈ 𝐾 𝑒 𝑟 𝐴   −   𝑡 𝐼

Prontinho, relembraram as definições? Agora podemos checar as afirmações

Passo 3

Vamos começar pela primeira afirmação. Ela diz que:

Se 1   é autovalor de 𝑇   , então a dimensão da 𝑖 𝑚 𝑔 𝐴   −   𝐼 é menor ou igual à 23  

E aí por onde começamos?

Bem se 1   é autovalor então existe 𝑣   tal que:

𝑣   ∈ 𝐾 𝑒 𝑟 𝐴   −   𝐼

Ou seja,

𝐷 𝑖 𝑚 𝐾 𝑒 𝑟 𝐴   −   𝐼   ≥   1

(pois podemos ter mais de um autovetor LI associado ao autovalor)

Mas o teorema do núcleo e da imagem diz que:

𝐷 𝑖 𝑚 𝐾 𝑒 𝑟 𝐴   +   𝐷 𝑖 𝑚 𝐼 𝑚 𝑔 𝐴   =   𝐷 𝑖 𝑚 𝑉

Onde 𝑉   é o espaço vetorial de origem

Bem sabemos qual é a dimensão de 𝑉   . Então temos:

𝐷 𝑖 𝑚 𝐾 𝑒 𝑟 𝐴   −   𝐼   +   𝐷 𝑖 𝑚 𝐼 𝑚 𝑔 𝐴 − 𝐼   =   24

Então

𝐷 𝑖 𝑚 𝐼 𝑚 𝑔 𝐴 − 𝐼   =   24   −   𝐷 𝑖 𝑚 𝐾 𝑒 𝑟 𝐴   −   𝐼

Logo

𝐷 𝑖 𝑚 𝐼 𝑚 𝑔 𝐴 − 𝐼   ≤   24   −   1

=   23  

Conseguimos mostrar que a primeira afirmação é verdadeira. Vamos para a próxima!!!

Passo 4

A segunda afirmação diz que:

𝑇   Tem pelo menos um autovalor

Bem como verificamos essa afirmação? Vamos lembrar que os autovalores são as Raízes do polinômio

𝑝 𝑡   =   d e t d e t   𝐴   −   𝑡 𝐼  

Qual é o grau desse polinômio? O grau será igual a dimensão do espaço. No nosso caso será 24  

.

Agora vem a pergunta importante. É possível esse polinômio não ter raízes reais? Vamos pensar!!!

Diferente de polinômio de grau ímpar, polinômios de graus pares podem não ter raízes reais, uma vez que seus limites no mais infinito e menos infinito são os mesmos.

Logo 𝑇   pode não ter autovalor real!!!

Com isso, mostramos que a segunda afirmação é falsa

Passo 5

Para finalizarmos, vamos verificar a terceira afirmação. Ela diz o seguinte:

𝑇   Tem no máximo autovalores 24  

E aí, o que acham? Podemos usar o fato que obtemos no passo anterior. Que o polinômio característico de 𝑇   tem grau igual a 24   . Logo, pode conter até 24   raízes reais. Ou seja, 𝑇   pode ter até 24   autovalores.

Terminamos essa questão mostrando que a terceira afirmação é verdadeira. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima!!! 😊

Resposta

1) e 3)

Exercícios de Livros Relacionados

Determinar valores próprios do operador linear T : V → V do R 4 que é definido em uma base { e 1 ,..., e n } por T e i = λ i ∈ R .
Achar os valores e os vetores próprios do operador T do IR 2 dado por:T(x, y) = (x + y, x - y);
Calcular o polinômio característico e os valores próprios da matriz: 2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 1 1 0 0 - 2 4
Seja 1 1 0 1 a matriz de um operador do R 2 . Ache os valores próprios de T . Existem, neste caso, dois vetores próprios linearmente independentes?
Provar que se λ é valor próprio de T, então λ n é valor próprio de T n . Generalizando, se p(t) é um polinômio então p ( λ ) é valor próprio de p(T), onde p T =a 0 1+ a 1 T+ . . .+a n T n se p ( t )=a