Autovalores e Autovetores de uma Matriz,
Seja uma matriz quadrada. Assinale a alternativa VERDADEIRA:
Se os autovalores de são diferentes de zero, então é sobrejetiva.
Se os coeficientes de são diferentes de zero, então os autovalores de são diferentes de zero.
Se os coeficientes de são diferentes de zero, então é injetiva.
Se os autovalores de são diferentes de zero, então os coeficientes de são diferentes de zero.
Passo 1
Vou usar a hipótese da letra . O que acontece se os autovalores são diferentes de zero?
Bom, os autovalores de uma matriz são tais que:
Se NÃO é autovalor, então:
Isso significa que é invertível, e por isso ela é bijetiva.
Em particular, ela é sobrejetiva.
Logo essa é verdadeira.
Passo 2
A hipótese da é falsa. Por quê?
Como acabamos de ver, basta que e já garantimos que é um autovalor.
Mas para o determinante ser zero os coeficientes não precisam ser! Olha só:
Essa matriz tem , e portanto , então é autovalor de .
Mas seus coeficientes são todos diferentes de !
Essa é falsa então.
Passo 3
A é igual à .
A matriz tem todos os coeficientes diferentes de zero, mas e portanto ela não admite inversa.
Logo ela não pode ser injetiva.
Passo 4
Se os autovalores de são diferentes de , então , como já vimos.
Acontece que os coeficientes podem ser zero sim!
Olha só:
Os autovalores dessa matriz são e (pois seu polinômio característico é .
Mas um de seus coeficientes é zero!
Resposta
Letra