Autovalores e Autovetores
Seja uma matriz . Assinale a alternativa FALSA:
pode não possuir autovetores
Se então os autovalores de podem ser e
pode ter apenas o autovalor e não ser a matriz identidade
Se então é autovalor
Passo 1
Ao invés de pensar matematicamente vamos pensar no significado de autovetores. Eles são direções preservadas pela matriz certo? Então é só acharmos uma matriz que não preserve nenhuma direção. Por exemplo, uma rotação de no .
Passo 2
Bom, vamos ver a letra .
Olha, se , então particularmente , certo?
E se , então , e por causa disso não é um autovalor.
Então a é falsa.
Passo 3
Para uma matriz ter apenas um autovalor igual a , basta que seu polinômio característico seja .
Mas não é apenas a matriz identidade que possui essa característica!
Por exemplo, a seguinte matriz também possui essa característica:
Essa é verdadeira, então.
Passo 4
Se então , então por isso é autovalor. Verdadeira. ;)
Resposta
Letra