Seja A   uma matriz 2 × 2 . Assinale a alternativa FALSA:

( a ) A pode não possuir autovetores

( b ) Se det ⁡ A < 0 então os autovalores de A podem ser 0 e 2

( c ) A pode ter apenas o autovalor 1 e não ser a matriz identidade

( d ) Se det ⁡ A = 0 então 0 é autovalor

Passo 1

a   Ao invés de pensar matematicamente vamos pensar no significado de autovetores. Eles são direções preservadas pela matriz certo? Então é só acharmos uma matriz que não preserve nenhuma direção. Por exemplo, uma rotação de 90 ° no R 2 .

Passo 2

Bom, vamos ver a letra ( b ) .

Olha, se det ⁡ A < 0 , então particularmente det ⁡ A ≠ 0 , certo?

E se det ⁡ A ≠ 0 , então det ⁡ A - 0 I ≠ 0 , e por causa disso 0 não é um autovalor.

Então a ( b ) é falsa.

Passo 3

c   Para uma matriz ter apenas um autovalor igual a 1 , basta que seu polinômio característico seja 1 - λ 2 .

Mas não é apenas a matriz identidade que possui essa característica!

Por exemplo, a seguinte matriz também possui essa característica:

1 0 1 1

Essa é verdadeira, então.

Passo 4

d   Se det ⁡ A = 0 então det ⁡ A - 0 I = 0 , então por isso λ = 0 é autovalor. Verdadeira. ;)

Resposta

Letra ( b )

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