Seja fixado um sistema de coordenadas no plano, com

uma base ortonormal, e seja dado . Temos que a equação

Representa uma hipérbole se, e somente se:

Mas como é uma equação da hipérbole mesmo? Vamos relembrar

Eita, essa equação não se parece nada com a que temos no enunciado, será que tem como deixarmos elas parecidas? O que vocês acham?

Bem, talvez possamos encontrar uma nova base em onde o termo suma. Então vamos fazer isso.

Vamos começar reescrevendo a nossa quadrática de forma matricial. Então temos:

Onde é:

Nossa matriz é simétrica e tem entradas reais, logo ela é diagonalizável, isto é pode ser escrita da forma

Então

Normalizando os autovetores, temos que:

(pois os autovetores normalizados formam um operador ortogonal)

com matriz diagonal onde suas entradas são os autovalores de

e matriz onde suas colunas são os autovetores associados aos autovalores de

Tá, mas como usamos isso a nosso favor? Vamos fazer a seguinte mudança de base:

Mas antes disso, vamos obter os autovalores e autovetores de

Como o foco desse exercício não é calcular os autovetores e autovalores de , iremos apenas dizer quem são as matrizes . Então temos que:

Como comentado no passo anterior, queremos fazer a seguinte transformação

Aplicando essa transformação, nossa quadrática fica da seguinte forma:

Olha só, fazendo isso conseguimos desaparecer com o termo da forma . Agora podemos desenvolver a expressão ainda mais!!!

Então temos:

(calculando o produto interno e substituindo os valores de D)

então temos:

Estamos quase lá, só falta completarmos quadrados!!!!

Vamos somar e subtrair os valores da nossa equação. Então ela fica:

Juntando os produtos notáveis temos:

Bem, o lado direito da nossa equação precisa ser não nulo. Logo

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊