Exercícios Resolvidos de Calculando Autovalores e Autovetores

Enunciado

Cara, primeiro de tudo, vamos prestar atenção nas informações do enunciado, ele dá essas duas equações pra gente:

Vamos pensar um negócio: é uma matriz, e qualquer produto matriz X vetor é linear não é?

O que a gente tem aí em cima são situações de autovetores com autovalores iguais a 1.

Qualquer autovetor desse plano então, deve ter autovalor igual a 1.

Somando as duas equações do enunciado e trocando seus coeficientes, o que temos é:

Beleza, nesse caso deu , mas como dissemos, a operação é linear, então, para qualquer vetor desse plano, deve existir um e um que satisfaçam:

Vamos testar para cada alternativa beleza?

a) Aqui temos:

Vamos verificar se o vetor realmente faz parte do plano com autovalor 1.

Temos o sistema:

Resolvendo esse sistema, encontramos e . Substituindo na equação, temos

Ou seja, o sistema é possível e existe e que satisfazem nossa equação. Logo, realmente tem autovalor 1 e portanto cumpre que .

b) Aqui temos:

Vamos verificar se o vetor realmente faz parte do plano com autovalor 1.

Temos o sistema:

Resolvendo esse sistema, encontramos e . Substituindo na equação, temos

Ou seja, o sistema é possível e existe e que satisfazem nossa equação. Logo, realmente tem autovalor 1 e portanto cumpre que .

c) Aqui temos:

Vamos verificar se o vetor realmente faz parte do plano com autovalor 1.

Temos o sistema:

Resolvendo esse sistema, encontramos e . Substituindo na equação:

Ou seja, o sistema é possível e existe e que satisfazem nossa equação. Logo, realmente tem autovalor 1 e portanto cumpre que .

d) Aqui temos:

Vamos verificar se o vetor realmente faz parte do plano com autovalor 1.

Temos o sistema:

O sistema acima não possui solução!! Ou seja, não existe e que satisfazem nossa equação. Logo, não tem autovalor 1 e portanto não cumpre que .

Entãoo, a alternativa errada é a letra D!!

d) Pode-se afirmar que