Exercícios Resolvidos de Calculando Autovalores e Autovetores

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Enunciado

UFRJ, Álgebra Linear, P3 – 2017.1, Questão 01

Considere as afirmativas abaixo:

Uma matriz , , sempre tem um autovetor.

Uma matriz sempre tem um autovetor

(a) é falsa e é verdadeira

(b) Ambas são falsas

(c) Ambas são verdadeiras

(d) é verdadeira e é falsa

Passo 1

Bom, vamos pensar nos polinômios característicos, na matriz , vou ter 3 raízes, ou seja, é um polinômio de grau 3.

As raízes complexas vem sempre em pares, logo, não é possível que todas as raízes sejam complexas, tenho pelo menos 1 raíz real. Assim, provo que toda matriz vai ter um autovetor!

A primeira afirmativa é verdadeira!

Passo 2

Agora a outra afirmativa, uma matriz vai ter seu polinômio característico com 4 raízes, um polinômio de grau 4.

Assim é possível que elas sejam todas complexas, não existindo, portanto, um autovalor real e consequentemente, não tendo um autovetor!!

Essa afirmativa é falsa!

Resposta

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Determinar valores próprios do operador linear T : V → V do R 4 que é definido em uma base { e 1 ,..., e n } por T e i = λ i ∈ R .

Achar os valores e os vetores próprios do operador T do IR 2 dado por:T(x, y) = (x + y, x - y);

Calcular o polinômio característico e os valores próprios da matriz: 2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 1 1 0 0 - 2 4

Seja 1 1 0 1 a matriz de um operador do R 2 . Ache os valores próprios de T . Existem, neste caso, dois vetores próprios linearmente independentes?

Provar que se λ é valor próprio de T, então λ n é valor próprio de T n . Generalizando, se p(t) é um polinômio então p ( λ ) é valor próprio de p(T), onde p T =a 0 1+ a 1 T+ . . .+a n T n se p ( t )=a