Exercícios Resolvidos de Calculando Autovalores e Autovetores

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Enunciado

Quais são os autovalores e autovetores próprios da matriz identidade?

Passo 1

Bom, podemos tanto calcular quanto raciocinar um pouquinho haha. O que a matriz identidade faz? Ela pega todos os vetores do e leva neles mesmos certo? Então o autovalor dela é o certo? Além disso, como ela funciona para qualquer vetor, seus autovetores são todos os vetores do seu domínio com exceção do vetor nulo, pois já sabemos que ele nunca será um autovetor!

Entendeu? Se não ficou muito claro você pode sempre calcular! Vamos ver como fica?

Seja matriz identidade . Fazemos :

Logo, como esperado o único autovalor dessa matriz é .

Agora para acharmos os autovetores resolvemos o sistema homogêneo :

Opa, perceba que obtivemos uma matriz nula! Naturalmente, todo vetor multiplicado por ela será levado no zero, então qualquer vetor do é autovetor do autovalor . Com exceção, é claro, do vetor nulo, pois ele nunca será um autovetor ;)

Resposta

Autovalor e como autovetores temos todos os vetores do espaço com exceção do vetor nulo.

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Determinar valores próprios do operador linear T : V → V do R 4 que é definido em uma base { e 1 ,..., e n } por T e i = λ i ∈ R .

Achar os valores e os vetores próprios do operador T do IR 2 dado por:T(x, y) = (x + y, x - y);

Calcular o polinômio característico e os valores próprios da matriz: 2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 1 1 0 0 - 2 4

Seja 1 1 0 1 a matriz de um operador do R 2 . Ache os valores próprios de T . Existem, neste caso, dois vetores próprios linearmente independentes?

Provar que se λ é valor próprio de T, então λ n é valor próprio de T n . Generalizando, se p(t) é um polinômio então p ( λ ) é valor próprio de p(T), onde p T =a 0 1+ a 1 T+ . . .+a n T n se p ( t )=a