UFRJ – Probest – 2020.2 – Prova P1 – Exercício 4
Admita que a largura dos ombros de pessoas é uma variável aleatória (v.a.) normal de média e desvio padrão de . Pretende-se dimensionar o corredor de uma casa, de forma a permitir a passagem de duas pessoas, de maneira confortável. Consideram-se satisfeitas as condições de conforto quando há uma folga de entre os ombros de duas pessoas e também entre os ombros e as paredes.
a) Qual a probabilidade de uma pessoa, escolhida ao acaso dessa população, ter a largura dos ombros maior que ?
b) Um projetista desenhou o corredor com de largura. Qual a probabilidade da passagem se dar de maneira confortável?
c) Que largura deve ter o corredor para permitir, em dos casos, a passagem de duas pessoas, de maneira confortável?
Passo 1
Fala galerinha, beleza? Bora resolver uma questão de prova!
Nesse problema vamos brincar com a famosa distribuição normal! A largura dos ombros de uma pessoa obedece a uma distribuição normal com média e desvio padrão . Com isso, a variância é . Podemos descrever a variável que representa a largura dos ombros de uma pessoa dessa população por
A função distribuição de probabilidade para essa distribuição é a gaussiana:
A probabilidade da variável assumir um valor entre e é dada pela integral
Para resolver esses problemas, nós fazemos uma mudança de variável:
Com isso,
Basicamente, o que essa mudança de variável faz é mudar a distribuição para uma distribuição normal de média zero e desvio padrão 1.
Para terminar essa discussão introdutória, vamos falar da função probabilidade acumulada . A integral da função gaussiana é não elementar, de modo que recorremos a tabelas e calculadoras para calcular essas probabilidades. Uma tabela muito comum é a tabela de probabilidade acumulada:
A função dá a probabilidade da variável ser menor que . Óbvio que essa função depende da média e do desvio padrão. Por isso, sempre que resolvemos os problemas vamos fazer a transformação para a variável e usar essa tabela específica!
Passo 2
Vamos resolver o item (a)! Ele quer saber a probabilidade da largura ser maior que , isto é,
Fazendo a transformação de variáveis:
Assim,
Olhando na tabela de probabilidade acumulada, temos e . Assim,
Passo 3
Para os itens (b) e (c), temos que construir uma nova variável aleatória que representa o comprimento do corredor para que duas pessoas o atravessam de maneira confortável. Vamos chamar essa variável de :
Vamos calcular a média e a variância dessa nova variável:
Por outro lado, e . Assim,
Portanto,
Aqui eu usei um fato bem importante: a soma de variáveis que seguem uma distribuição normal também segue uma distribuição normal.
Nós queremos achar a probabilidade de ser menor que :
Precisamos a mudança de variável:
Para , temos . Já para , temos . Portanto,
Olhando na tabela, temos e . Portanto,
Passo 4
No item (c), queremos achar o comprimento do corredor para que a probabilidade duas pessoas passarem com conforto seja de . Traduzindo isso para linguagem matemática, queremos achar o comprimento para que probabilidade de ser menor que seja :
Fazendo a tradicional mudança de variável, temos
Portanto,
Como , temos que
Olhando na tabela da função , vemos que ela assume o valor quando . Logo,
Fazendo as contas, achamos
Isso finaliza o problema 😉!