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Exercícios Resolvidos de Distribuição Normal

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Enunciado

USP - Probabilidade e Estatística – Probabilidades - PSUB – 2019 – Teste 4

Considere duas variáveis aleatórias   Z   e   W   , independentes e com distribuição normal padrão N 0,1 . Defina as variáveis X = 2 Z + W   e   Y = Z - W .

1. X   e   Y possuem densidade de probabilidade conjunta f X Y x , y = f Z z f W w ;

2. f X Y x , y = 1 2 π ⋅ 9 exp ⁡ - 1 2 ⋅ x 2 4   - x y 5 + y 2 2

3. C o v X , Y = 1 .

4. E X = 3 , E Y = 0 .

Passo 1

Fala pessoal, vamos para mais uma questão de probabilidade. Nosso objetivo nessa questão é verificar quais afirmações são verdadeiras. Sabemos que Z   e   W   são i i d   . com distribuição normal padrão e X = 2 Z + W   e   Y = Z - W

Mãos na massa!!!

Passo 2

Antes de verificarmos a veracidade das afirmações, vamos descobrir quais são as distribuições de X   e   Y . Algum palpite?

Como

2 Z ∼ N 0,1 ⋅ 2 2  

Então

X = 2 Z + W   ∼ N 0,1 + 4

E

  Y = Z - W ∼ N 0,2

Vale lembrar que combinação linear de distribuições normais é uma distribuição normal, a fórmula geral é dada por:

X i ∼ N a i , b i  então  ∑ i = 1 n   c i X i ∼ N ∑ i = 1 n   c i a i , ∑ i = 1 n   c i 2 b i

Passo 3

Nosso objetivo é verificar quais afirmações são verdadeiras

Geralmente começamos pela primeira afirmação. Mas dessa vez vamos começar pela terceira. Conseguem imaginar o porquê?

A primeira afirmação diz que

f X Y x , y = f Z z f W w

Mas como Z   e   W   são i i d   ,

f Z z f W w   =   f Z , W   z , w .

Ou seja, essa afirmação diz que a distribuição conjunta de X   e   Y é a mesma de Z   e   W   . Então X   e   Y tem que ter as mesmas relações que Z   e   W   . Em particular a mesma covariância.

Por isso vamos fazer a questão 3 primeiro para podermos ver se elas tem a mesma covariância.

Passo 4

Como comentado no passo anterior, vamos verificar a afirmação 3 primeiro.

Nessa afirmação, precisamos calcular C o v X , Y . Por definição,

C o v X , Y   =   E X Y   -   E X E Y

(Substituindo X   e   Y )

= E 2 Z + W Z - W   -   E 2 Z     +   W E Z - W

(Pela linearidade da esperança)

= E 2 Z + W Z - W   -   E 2 Z     +   W E Z - E W

(Como o termo da direita é zero)

= E 2 Z + W Z - W

(Desenvolvendo)

= E 2 Z 2   - 2 W Z   + W Z   - W 2

(Pela linearidade)

= E 2 Z 2   - E W Z   - E W 2

= 2 E Z 2     -   E W 2

Como E Z   =   E W   =   0

E Z 2   =   V a r Z   =   1

Então

2 E Z 2     -   E W 2

= 1  

Logo C o v X , Y   =   1

A terceira afirmação é verdadeira. Mas como Z   e   W   são independentes C o v Z , W   =   0 .

Logo pelo argumento dado no passo 3, a primeira afirmação é falsa.

Passo 5

Agora vamos verificar a quarta afirmação. Diz que E X = 3 , E Y = 0 .

Mas,

E X = E 2 Z   +   W

(Pela linearidade da esperança)

= 2 E Z   + E W

= 0  

Dessa forma, a quarta afirmação é falsa.

Agora só falta verificarmos a última afirmação.

Passo 6

Agora vamos verificar a última afirmação faltando, a segunda afirmação.

Beeemmm, para isso vamos retirar uma densidade de distribuição do chapéu!! 😊

Nesse caso distribuição conjunta de duas normais é chamada de normal multivariada e tem densidade

ϕ x 1 , x 2 = 1 ( 2 π ) σ 1 σ 2 1 - ρ 2 exp ⁡ - 1 2 1 - ρ 2 x 1 - μ 1 σ 1 2 - 2 ρ x 1 - μ 1 σ 1 x 2 - μ 2 σ 2 + x 2 - μ 2 σ 2 2

Onde ρ é a correlação entre as variáveis.

Mas já calculamos a covariância de X   e   Y e sabemos suas variâncias então, pela definição:

ρ   =   C o v X , Y σ x σ y

ρ = 1 5 ⋅ 2

ρ = 1 10

E temos que, pela afirmação 2 :

f X Y x , y = 1 2 π ⋅ 9 exp ⁡ - 1 2 ⋅ x 2 4   - x y 5 + y 2 2

Daí, comparando essa expressão com ϕ ( x 1 , x 2 ) , deveríamos ter:

σ x σ y ⋅ 1 - p 2   =   9  

Esse resultado é apenas uma comparação, pra que a afirmação seja verdadeira, precisamos que de fato, σ x σ y ⋅ 1 - p 2 assuma esse valor. Daí, usando os dados que já encontramos na questão, bora calcular:

σ x σ y ⋅ 1 - p 2 = 5 ⋅ 2 1 - 1 1 0 2

⇒   σ x σ y ⋅ 1 - p 2 = 9 = 3

Logo essa afirmação será falsa, pois o termo ao lado do 1 2 π deveria ser 3   e não 9 .  

Com isso terminamos mais uma questão de probabilidade. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!

Resposta

3)

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