UFMG, Sem Campus, Estatística, P2 - 2015.1, Questão 1c
O tempo , em minutos, para completar uma reação química tem distribuição LnNormal com
Cada reação é realizada, em grande escala, dentro de uma garrafa e as garrafas são tampadas ao completar minutos de iniciada a reação . Se dessas garrafas são escolhidas aleatoriamente, qual a probabilidade de que em no máximo delas a reação não tenha sido completada?
Passo 1
Fala pessoal, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de estatística. Nosso objetivo é
calcular a probabilidade de no máximo garrafas não terem terminado a reação a tempo. Onde o tempo de reação tem distribuição LogNormal com . Lembram dessa distribuição?
Se tem distribuição LogNormal, então sua função de densidade é:
Logo, a probabilidade de uma garrafa não terminar a tempo a reação, é a probabilidade da reação durar mais que minutos, que é dada por:
Infelizmente essa probabilidade não é calculável analiticamente, sendo necessário o uso de um computador. Mas vamos chamá-la de
Passo 2
Agora que sabemos qual é a probabilidade de uma reação não terminar a tempo é . Como podemos calcular a probabilidade de no máximo reações não terminem em um lote de 3500?. Alguma ideia?
Podemos usar a distribuição binomial. Já que ela serve para contar a probabilidade de se obter um certo número de sucessos em lançamentos. E essa distribuição tem a seguinte definição.
onde é probabilidade do evento de interesse e o número de ocorrências desse evento.
No nosso caso, . Mas quem seria o nosso . Bem, como queremos a probabilidade de no máximo reações incompletas, isso quer dizer que queremos a soma das probabilidades de termos uma reação, duas, três,..., setenta incompletas, ou seja, A nossa probabilidade de interesse é:
Que deve ser calculado com a ajuda de um programa, pois as contas são absurdas.
Resposta
Desenvolvimento acima