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Exercícios Resolvidos de Distribuição Normal

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Enunciado

Distribuição Normal

Os resultados de um certo teste de medida que mede o peso em uma população de alunos universitários da PUC, é uma variável aleatória Normal com média 64 k g e desvio padrão 16 k g . Baseado nesta informação, responda as questões seguintes:

  1. Quer-se classificar a população em quatro categorias iguais, quais serão as pontuações que delimitam esses grupos?
  2. Qual a probabilidade de alguém pesar entre 57 k g e 74 k g ?
  3. Se os 25 alunos matriculados em Engenharia Civil que fazem a matéria de PROBEST fizerem o teste, qual é a probabilidade que tenham o peso médio superiores a 70 k g ?
  4. Dentre 25 alunos nesta mesma amostra, qual a probabilidade do aluno que teve o peso maior, não exceda 70 k g no teste?

Passo 1

Vamos chamar de X a v.a. que representa esse teste aí.

X   ~   N o r m a l   64,16 2

Olha aí, sem vacilar, desvio padrão é o σ . Variância é o σ ² .

Passo 2

(a)

Essa partição são os quantis, 75%, 50% e 25%.

Vamos calcular qual valor de peso que 75% dos alunos estarão abaixo, 50% estarão abaixo e 25% estarão abaixo.

P X < Q 3 = 0,75

Padronizando...

P Z < Q 3 - 64 16 = 0,75

Olhando na tabela, sabemos que o valor de z que dá 0,75 dentro da tabela é o 0,67. Ou seja, se você procurar por 0,75 no interior da tabela e ligar a linha com a coluna vai encontrar esse 0,67.

Isso significa que z = 0,67 .

Q 3 - 64 16 = 0,67

Q 3 = 74,7   k g

Passo 3

Para o valor do peso que divide na metade os alunos a gente nem precisa fazer conta, porque ele é a própria média.

Q 2 = 64   k g

Para Q 1 , peso para o qual 25% dos alunos estão abaixo.

P X < Q 1 = 0,25

P Z < Q 1 - 64 16 = 0,25

Como 0,25 não está na tabela, não teria como a gente achar o z referente a ele. Mas, podemos usar o z correspondente ao “complementar dele” e trocar o sinal. Nesse caso usaríamos o z correspondente ao 0,75 ( 0,25 + 0,75 = 1 ) , que é o 0,67 e inverteríamos o sinal... então:

z = - 0,67

Q 1 - 64 16 = - 0,67

Q 1 = 53,3   k g

Passo 4

(b)

Probabilidade de alguém pesar entre 57   e 74 k g .

P 57 < X < 74 =   ?

Padronizando...

P 57 - 64 16 < Z < 74 - 64 16 = P - 0,44 < Z < 0,625

= P Z < 0,625 - P Z < - 0,44

= P Z < 0,63 - 1 - P Z < 0,44

= 0,7357 - 1 - 0,67

= 0,4057

Passo 5

(c)

Agora temos uma amostra de 25 alunos e queremos ver a probabilidade da média dos pesos deles x ¯ ser maior que 70   k g .

A gente sabe que uma média amostral, x ¯ , tem distribuição...

X ¯   ~   N o r m a l   μ , σ 2 n

Já que cada aluno segue a distribuição dada no enunciado.

Aplicando isso...

X ¯   ~   N o r m a l   64 , 16 ² 25

Passo 6

Calcular...

P X ¯ > 70 = P Z > 70 - 64 16 25

= 1 - P Z < 1,88

= 1 - 0,9699 = 0 , 0 301

Passo 7

(d)

Tá a gente tem o peso dos 25 alunos → X 1 ,   X 2 , … , X 25

Vamos dizer que V = m á x   ( X 1 , X 2 , … , X 25 ) .

A gente quer calcular P ( V ≤ 70 ) , o mais pesado não exceda 70   k g .

P V ≤ 70 = P X 1 ≤ 70   e   X 2 ≤ 70   e …   X 25 ≤ 70

= P X i ≤ 70 25

Concorda? É o mesmo que calcular a probabilidade de cada um deles ter peso menor que 70   k g e multiplicar essas probabilidades.

Passo 8

Cada aluno tem seu peso X i representado pela distribuição do enunciado, igual a de todos os outros alunos da universidade.

Então..

P X i ≤ 70 = P Z ≤ 70 - 64 16

= P Z ≤ 0,38

= 0,6480

Pra terminar...

P ( V ≤ 70 ) = P X i ≤ 70 25

= 0,6480 25

= 1,94 × 10 - 5

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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