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Exercícios Resolvidos de Distribuição Normal

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Enunciado

Transformação de Variáveis

Uma torre de transmissão capta além do sinal de interesse, um ruído branco. Se a voltagem do ruído branco nos terminais de entrada da antena da torre pode ser modelado por uma v.a. " X " com distribuição N 0 , σ 2 , responda:

Qual a densidade de probabilidade da potência do ruído branco nos terminais da antena, sabendo que a potência é uma função: Y = α X 2 2 - 3 .

Passo 1

Tá, pra começar a gente tem uma v.a. com distribuição Normal. Você lembra qual a função de densidade dela?

f x = 1 2 π σ 2 . e - x - μ 2 2 σ 2

Beleza! Agora queremos a densidade de probabilidade de uma variável Y ...

Y = α X 2 2 - 3

Vamos usar o método do Jacobiano pra descobrir isso...

Passo 2

Mas antes de tudo vamos fazer duas coisas.

  1. Se a média é 0 , a gente pode tirar o μ dali do f x .

    2. f x = 1 2 π σ 2 . e - x 2 2 σ 2

  2. Vamos inverter essa expressão de X e Y aí.

Y = α X 2 2 - 3

α X 2 2 = Y + 3

α X 2 = 2 Y + 6

X = 2 Y + 6 α

Passo 3

Pelo método do jacobiano a gente sabe que:

g y = f x . d x d y

Vamos calcular a derivada ali de cima então...

d 2 Y + 6 α d y = 1 2 . 2 α 2 Y + 6 α - 1 2

= 1 α . α 2 Y + 6

= 1 α . 2 Y + 6

Passo 4

Agora f x .

f x = f 2 y + 6 α

= 1 2 π σ 2 . e - 2 y + 6 α ² 2 σ 2

= 1 σ 2 π . e - 2 y + 6 2 α σ 2

Passo 5

Pra fechar, junta tudo...

g y = f x . d x d y

g y = 1 σ 2 π . e - 2 y + 6 2 α σ 2 × 1 α . 2 Y + 6

g y = 1 σ 2 π α . 2 Y + 6 . e - 2 y + 6 2 α σ 2

Resposta

g y = 1 σ 2 π α . 2 Y + 6 . e - 2 y + 6 2 α σ 2

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