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Exercícios Resolvidos de Distribuição Normal

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Enunciado

Tarefa da aula – 6 – Probabilidade e Estatística (ENG1029) – 2020/2 – Questão 2

Uma torre de transmissão capta além do sinal de interesse, um ruído branco. Se a voltagem do ruído branco nos terminais de entrada da antena da torre pode ser modelado por uma v.a. " V " com distribuição N 0 , σ 2 , responda:

Qual a densidade de probabilidade da potência do ruído branco nos terminais da antena, sabendo que a potência é uma função: P = 3 α V 2 .

Passo 1

Tá! pra começar a gente tem uma v.a. com distribuição Normal. Você lembra qual a função de densidade dela?

Se não lembra, Tá aqui o produtor pra recordar...

f v = 1 2 π σ 2 . e - v - μ 2 2 σ 2

Beleza! Agora queremos a densidade de probabilidade de uma variável P ...

P = 3 α V 2

Vamos usar o método do Jacobiano pra descobrir isso...

Passo 2

Mas antes de tudo vamos fazer duas coisas.

Bom! Se a média é 0 , a gente pode tirar o μ dali do f v .

f v = 1 2 π σ 2 . e - v 2 2 σ 2

Vamos inverter essa expressão de P e V aí.

P = 3 α V 2

V 2 = P 3 α

V = P 3 α

Passo 3

Pelo método do jacobiano a gente sabe que:

g p = f v . d V d P

Vamos calcular a derivada ali de cima então...

d P 3 α d P = 1 2 . 1 3 ⋅ P α - 1 2

= 1 2 3 P α

Passo 4

Agora f v .

f v = f p 3 α

= 1 2 π σ 2 . e - p 3 α 2 2 σ 2

= 1 σ 2 π . e - p 6 α σ 2

Passo 5

Pra fechar, junta tudo...

g p = f v . d V d P

g p = 1 σ 2 π ⋅ e - p 6 α σ 2 × 1 2 3 P α

g p = 1 2 σ 6 π α P ⋅ e - p 6 α σ 2

E pronto! Obtemos a nossa função de probabilidade!

Resposta

g p = 1 σ 2 6 π α P ⋅ e - p 6 α σ 2

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