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Exercícios Resolvidos de Distribuição Normal

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Enunciado

Tarefa da aula – 6 – Probabilidade e Estatística (ENG1029) – 2020/2 – Questão 1

Seja X uma variável aleatória contínua com densidade Normal, onde os valores possíveis de " x " pertence aos reais, μ = 0 e σ ² > 0 .

f x = 1 2 π σ 2 . e - x - μ 2 2 σ 2

Determine a função de densidade de probabilidade da v.a. Y = X 2 3 + 3 .

Passo 1

Primeiro de tudo, se μ = 0 , a gente pode tirar o μ dali da fórmula de f ( x ) , né não? Bora fazer isso!

f x = 1 2 π σ 2 . e - x ² 2 σ 2

Ok! Em seguida, vamos usar o método do Jacobiano pra determinar a densidade de Y .

Primeiro vamos fazer um ajuste na fórmula de Y ... Colocar X em função de Y :

Y = X 2 3 + 3

X 2 3 = Y - 3

X 2 = 3 Y - 9

X = 3 Y - 9

Passo 2

Pelo método do Jacobiano, a gente sabe que:

g y = f x ⋅ d x d y

Vamos calcular a derivada ali de cima então...

d 3 Y - 9 d y = 3 2 ⋅ 3 y - 9 - 1 2

Passo 3

Agora, calculemos f x ...

f x = f 3 y - 9 =

= 1 2 π σ 2 ⋅ e - 3 y - 9 ² 2 σ 2 =

= 1 2 π σ 2 ⋅ e - 3 y - 9 2 σ 2

Passo 4

Pra fechar, só falta juntar tudo...

g y = 1 2 π σ 2 ⋅ e - 3 y - 9 2 σ 2 × 3 2 ⋅ 3 y - 9 - 1 2

g y = 3 2 3 y - 9 ⋅ 1 2 π σ 2 ⋅ e - 3 y - 9 2 σ 2

E pronto! Terminamos aqui! Encontramos a nossa função de densidade de probabilidade!

Resposta

g y = 3 2 3 y - 9 ⋅ 1 2 π σ 2 ⋅ e - 3 y - 9 2 σ 2

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