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Exercícios Resolvidos de Distribuição Normal

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Enunciado

USP probabilidade P3 2018

O preço da gasolina aditivada ( G a ) no Brasil depende do valor do preço da gasolina comum ( G c ), do etanol ( E t ) e dos aditivos ( A d ), seguindo a função G a   = 0.7 G c   +   0.25 E t   +   0.05 A d   . Sabe-se que os preços por litro dos componentes da gasolina aditivada podem ser modelados por variáveis aleatórias independentes com distribuições normais com médias e variâncias mostradas na tabela abaixo.

A probabilidade que o preço da gasolina aditivada ultrapasse R$7,00 o litro é aproximadamente:

Passo 1

Fala pessoal, Tudo bem? Vamos à luta. Dessa vez temos uma questão de probabilidade envolvendo distribuições normais.

  • G c   ∼ N 5 , 4 0.555

  • E t   ∼ N 4 , 4 0.555

  • A d   ∼ N 10 , 4 0.555

  • G a   = 0.7 G c   +   0.25 E t   +   0.05 A d  

Queremos calcular P G a   >   7 .

Passo 2

Fala pessoal, essa questão precisamos calcular P G a   >   7 . Mas para isso precisamos descobrir a distribuição de G a .

G a   = 0.7 G c   +   0.25 E t   +   0.05 A d  

Mas primeiro vamos calcular a distribuição de cada componente da soma de G a  

Como G c   ∼ N 5 , 4 0.555 ⇒   0.7 G c   ∼ N 0.7 ⋅ 5 , 0.7 2 4 0.555

E t   ∼ N 4 , 4 0.555 ⇒   0.25 E t   ∼ N 0.25 ⋅ 4 , 0.25 2 4 0.555

A d   ∼ N 10 , 4 0.555 ⇒   0.05 E t   ∼ N 0.05 ⋅ 10 , 0.05 2 4 0.555

Então G a   = 0.7 G c   +   0.25 E t   +   0.05 A d   ∼ N 1.85 ,   4 0.555 0.7 2   +   0.25 2   +   0.05 2

⇒   G a   ∼ N 1.85 ,   4

Passo 3

Agora que sabemos a distribuição de G a   , podemos calcular a P G a   >   7

P G a   >   7   =   P G a   -   1.85   >   7 - 1.85

  =   P G a   -   1.85 2   >   7 - 1.85 2

  =   P G a   -   1.85 2   >   5.15 2

  =   P Z   >   5.15 2  

Onde Z ∼ N 0,1

Consultando uma tabela z temos:

P G a   >   7   =   P Z > 5.15 2

=   0.16  

Usamos muitas propriedades da distribuição Normal para fazer essa questão. Usamos as seguintes propriedades:

Sejam X ∼ N a , b   e Y ∼ N c , d   então:

X + Y ∼ N a + c , b + d  

k X   ∼ N a k ,   k 2 b

É sempre bom saber essas propriedades, pois questões envolvendo distribuições normais ficam bem mais fáceis se as usarmos.

Resposta

0.16  

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