Distribuição Normal
O diâmetro de uma conexão é distribuído normalmente, com uma média de e um desvio padrão de . As especificações do projeto são . Note que o processo de fabricação está operando com a média diferente da especificação do projeto.
- Determine a probabilidade de uma peça estar fora da especificação.
- O Engenheiro de Controle de Qualidade decide ajustar a máquina de modo que a nova média fique dentro da especificação. Nessa situação, qual a probabilidade da peça estar fora da especificação?
- Se uma peça dentro da especificação gera um lucro de , e fora da especificação um lucro de apenas , calcule o lucro esperado para os casos e .
Passo 1
(a)
A produção da peça segue uma distribuição Normal:
A especificação do projeto é que o diâmetro médio esteja dentro do intervalo .
Os limites do intervalo especificado seriam então .
Passo 2
Podemos calcular então a probabilidade da peça produzida estar dentro da especificação.
Padronizando...
Já que , a tabela da normal só vai até lembra?
Olhando pela tabela...
Com isso, chamando estar dentro da especificação:
Mas a gente quer a probabilidade de estar fora da especificação, que nada mais é do que isso.
Passo 3
(b)
Cara, aqui o exercício diz que o Engenheiro ajusta a máquina pra que a nova média fique dentro da especificação. Minha interpretação pra isso é que tipo, a nova média passaria de para que é a média da especificação. E o desvio padrão continuaria o mesmo.
Desse jeito, a nossa v.a. iria seguir uma distribuição Normal com média e desvio padrão .
Passo 4
De novo, vou usar a mesma ideia. O exercício quer a probabilidade de estar fora da especificação, vou calcular a probabilidade de estar dentro e tirar de . Desse jeito, a gente faz uma conta só.
Padronizando...
Já tá sussa nisso né? Primeiro a gente tira o sinal negativo ali (porque na tabela não tem valor negativo).
Surgiu um sinal de maior, agora a gente faz aquele esquema...
Aí é só olhar na tabela da Normal (linha 2,5 com coluna 0,00).
Passo 5
Se essa é a probabilidade de estar dentro do intervalo de especificação, a probabilidade de estar fora vai ser menos isso...
Passo 6
(c)
Para o caso (a)..
Teremos lucro de com probabilidade de que é a prob. de estar dentro da especificação e teremos lucro de apenas com de probabilidade.
Com isso, nosso lucro esperado seria:
Para o caso (b) as probabilidades de estar dentro ou fora do especificado mudam e isso muda o lucro esperado também, que passa a ser:
Lembra? Pra fazer a esperança de uma v.a. dessa a gente pega os possíveis resultados e e multiplica pelas suas respectivas probabilidades.