Primeira Avaliação de Probabilidade e Estatistica UFRJ 2019.2
No processo de produção de vinho de uma determinada vinícola, a concentração total de açucares de todos os vinhos produzidos é assumida uma distribuição normal com média de e desvio padrão de . Um vinho é considerado seco se possui no máximo até de concentração de açúcar; meio doce (demi-sec) se possui concentração de açúcar entre e ; e doce se possui concentração de açúcar maior que .
- Qual é a proporção de vinho do tipo seco produzido pela vinícola?
- Entre os vinho que não são do tipo seco, qual é a proporção de vinhos do tipo doce?
- A vinícola dá uma classificação especial aos dos vinhos com maior quantidade de açúcar. Acima de qual quantidade de açúcar, um vinho recebe essa classificação?
Passo 1
Primeira coisa, Distribuiçãon normal, lembramos? Bom, talvez precisamos lembrar, não é mesmo? Primeiro olhamos cara um gráfico característico de uma distribuição normal
Com nossa
Onde a nossa esperança dada por e desvio padrão .
Então vamos tomar que
é nossa proporção, na qual será a nossa quantidade de açúcar no vinho.
Entretanto, para melhorar nossa resolução, devemos lembrar que qualquer distribuição normal com média e desvio padrão pode ser “transformada” em uma distribuição normal padrão fazendo
Nesta forma, nossa distribuição que era definida como uma distribuição normal padrão. Desta forma podemos trabalhar a partir da própria tabela de distribuição normal padrão.
Passo 2
- Dando continuidade, queremos saber a proporção de vinho seco produzido, ou seja,
Usando a transformação proposta no passo 1, temos que
Importante não esquecer que, . Agora fazendo uso da nossa tabelinha marota, , assim
Que é nossa proporção de vinho seco produzido na vinícola.
Passo 3
(b) Agora o exercício safado hahaha quer que a gente ache a proporção de vinho doce com base na proporção de vinhos não secos.
Ou seja, queremos um com considerando apenas os .
Usando Teorema de Bayes, na qual
Temos que
Agora usando a transformação do passo 1, temos que
Perceba, o valor do numerador é menos a produção de vinhos até , enquanto o valor do denominador é a produção de vinho com . Assim temos que
Novamente lembrando que tiramos nossos valores da tabela de distribuição normal padrão .
Passo 4
(c) Neste item, queremos saber quando o valor de tal que
Assim podemos dizer que
Assim temos que
Mas quem é
Que resulta em
Assim temos que