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Exercícios Resolvidos de Distribuição Normal

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Enunciado

Suponha que o tempo necessário para atendimento de clientes em uma central de atendimento telefônico siga uma distribuição normal de média de 8 minutos e desvio padrão de 2 minutos.

a) Qual é a probabilidade de que um atendimento dure menos de 5 minutos?

b) E mais do que 9,5 minutos?

c) E entre 7 e 10 minutos?

d) 75% das chamadas telefônicas requerem pelo menos quanto tempo de atendimento?

Passo 1

(a)

Se a gente chamar de X a v.a. que representa o tempo necessário para atendimento de clientes em uma central de atendimento telefônico.

De acordo com o enunciado,

X   ~   N o r m a l ( 8 ; 4 )

Já que a média é: μ = 8 .

E o desvio padrão é:   σ = 2 .

Passo 2

Probabilidade de durar menos 5 minutos é:

P X < 5 =   ?

Fazendo a padronização:

P X < 5 = P Z < 5 - 8 2

= P Z < - 1,5

Invertendo os sinais:

= P ( Z > 1,5 )

= 1 - P ( Z < 1,5 )

= 1 - Φ 1,5

Usando a tabela da Normal, cruzando a linha 1,5 com a coluna 0,00, encontramos que:

Φ 1,5 = 0,9332

Logo:

P X < 5 = 1 - 0,9332 = 0,0668

Passo 3

(b)

P X > 9,5 =   ?

Padronizando..

= P Z > 9,5 - 8 2

= P Z > 0,75

= 1 - P Z < 0,75

= 1 - Φ 0,75

Usando a tabela novamente..

Φ 0,75 = 0,7734

P X > 9,5 = 1 - 0,7734

P X > 9,5 = 0,2266

Passo 4

(c)

P 7 < X < 10 =   ?  

Padronizando...

= P 7 - 8 2 < Z < 10 - 8 2

= P - 0,5 < Z < 1

= Φ 1 - Φ - 0,5

Usando a tabela..

Φ 1 = 0,8413

Com Φ ( 0,5 ) e Φ ( - 0,5 ) temos que:

Φ - 0,5 = 1 - Φ 0,5 = 1 - 0,6915

= 0,3085

Pra fechar então:

P 7 < X < 10 = 0,8413 - 0,3085

P 7 < X < 10 = 0,5328

Passo 5

(d)

Beleza, agora pensa aqui comigo!

Nós queremos saber, ao menos quanto tempo é necessário para atender 75% das chamadas...

Então, sobre esse tempo, digamos que ele seja um valor k, 75% das chamadas demoram MENOS que esse valor. Com isso, podemos escrever que a probabilidade do tempo da chamada ser menor que k é igual a 75%, certo?

P X < k = 0,75

Padronizando..

P Z < k - 8 2 = 0,75

Φ k - 8 2 = 0,75

Ou seja:

Φ k - 8 2 = 0 , 7 5

O valor da tabela que nos dá 0,75 de probabilidade é o 0,67 .

Com isso:

k - 8 2 = 0,67

k - 8 = 1,34

k = 9,34   m i n u t o s

k ≅ 9,3   m i n u t o s

Resposta

a   0,0668

b   0,2266

c   0,5328

d   9,3   m i n u t o s

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