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Exercícios Resolvidos de Distribuição Normal

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Enunciado

USP probabilidade REC 2019

Considere duas variáveis aleatórias normais e independentes: X     possui esperança 1   e variància 16   . e Y   possui esperança 6   e variância 9   . A probabilidade de X   ser maior do que Y   .

Passo 1

Fala galerinha. Tudo beleza? Vamos para mais uma questão de probabilidade. Temos que:

  • X ∼ N 1,16

  • Y ∼ N 6,9  

Queremos Calcular P X   >   Y

Passo 2

Pessoal, queremos calcular P X   >   Y , mas

P X   >   Y   =   P X   - Y > 0

Mas será que sabemos a distribuição de X - Y ?   Como X   e   Y são ambas normais sabemos que X - Y   também será normal (combinação linear de distribuições normal é normal. Uma demonstração para essa propriedade se encontra em nosso material de probabilidade 😊 ). Mas qual será sua média e variância?

Passo 3

No passo anterior, vimos que P X   >   Y   =   P X   - Y > 0 e que X - Y   ∼ N μ , σ 2 , mas não sabemos quem são μ   e   σ 2 . Vamos calculá-los.

Da definição da distribuição Normal sabemos que:

E X - Y   =   μ

⇒     μ   =   E X - E Y  

⇒     μ   =   1 - 6  

⇒     μ   =   - 5  

Além disso, sabemos também da definição da distribuição Normal que:

V X - Y   =   σ 2

⇒     σ 2   =   V X + V - Y   (por independência entre X   e   Y   )

⇒     σ 2   =   V X + V Y  

⇒     σ 2   =   16   +   9

⇒     σ 2   =   25

Passo 4

Agora que obtemos os parâmetros da distribuição de X - Y   podemos calcular P X   >   Y   =   P X   - Y > 0 .

Seja D   = X - Y     então:

P X   >   Y   =   P X   - Y > 0

=   P D > 0

=   P D - E D >   - E D

=   P D - E D V D 1 2 >   - E D V D 1 2

Sabemos que D   é uma distribuição Normal, então D - E D V D 1 2   ∼ N 0,1

Dessa forma, calcular P X   >   Y   será equivalente a calcular

P Z >   - E D V D 1 2   =   P Z >   5 5

(usando uma tabela z)

= 0.1587  

Resposta

0.1587  

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