P2-2017/1 UFRJ Questão 1
Um caminhão pode transportar uma carga máxima de três toneladas. Sua carga é composta por caixas transportando dois tipos de produtos, tipo A e tipo B. Suponha que o peso de caixas com produto do tipo A tenha distribuição normal com média 50 kg e variância 25 kg² e que o peso de caixas com produto do tipo B tenha distribuição normal com média 38 kg e variância 16 kg². Suponha ainda que pesos de caixas distintas sejam independentes.
a) Calcule a média e variância da carga tranportada quando o caminhão é carregado com 25 caixas com produto do tipo A e 45 com caixas com produto do tipo B.
b) Com a mesma carga descrita no item (a), calcule a probabilidade do caminhão ter sido carregado com uma carga superior a máxima permitida.
c) Se o caminhão só for carregado com produto do tipo A, qual o maior número de caixas que ele pode transportar de modo que a probabilidade de exceder a carga máxima seja inferior a 2%.
Passo 1
a) Calcule a média e variância da carga tranportada quando o caminhão é carregado com 25 caixas com produto do tipo A e 45 com caixas com produto do tipo B.
Aqui vamos usar a propriedade de que a média da soma de variáveis aleatórias independentes é igual a soma das médias, e a variância é igual a soma das variâncias.
Passo 2
b) Com a mesma carga descrita no item (a), calcule a probabilidade do caminhão ter sido carregado com uma carga superior a máxima permitida.
Como fizemos a soma de variáveis aleatórias independentes com distribuição normal, continuamos numa distribuição normal. Sendo assim, temos uma v.a. que segue uma normal com parâmetros e .
Ele pede pra gente a probabilidade do caminhão ter sido carregado com uma carga superior à carga máxima, ou seja:
Procurando na nossa querida tabela normal e substituindo os valores, temos:
Passo 3
c) Se o caminhão só for carregado com produto do tipo A, qual o maior número de caixas que ele pode transportar de modo que a probabilidade de exceder a carga máxima seja inferior a 2%.
Bom, essa é a letra mais chatinha da questão, vamos por partes.
Primeiro, vamos chamar de o número máximo de caixas que podem ser transportadas.
Agora, vamos criar uma v.a. :
Como estamos falando do produto A, sabemos então que essa v.a. tem distribuição normal com média e variância (simplesmente multiplicamos os parâmetros que o enunciado deu para caixas com produto A pela quantidade de caixas, que chamamos de ).
Passo 4
Agora vamos escrever outra coisa que o enunciado falou pra gente. Ele quer que a probabilidade de exceder a carga máxima seja inferior a 2%, ou seja:
Se padronizarmos isso aí, ficamos com:
Isolando nossa probabilidade acumulada, ficamos com:
Se formos lá na nossa querida tabela normal, vamos encontrar que o valor de que nos dá 0,98 de probabilidade é 2,05.
Como queremos valores de que me dêem probabilidades maiores que 0,98 temos que:
Passo 5
Agora ficamos com uma inequaçãozinha que é aparentemente bem chata, mas calma, vamos resolver isso.
Como temos uma função decrescente, vamos olhar apenas para a maior raiz!
E pra resolver, vamos chamar , pra tirar essa raiz do denominador.
Ficamos então com:
Resolvendo isso aí:
Note que eu nem considerei o na fórmula de bhaskara, já que estamos apenas interessados na maior raiz!
Resolvendo isso aí, encontramos .
Como , temos que
Resposta
a) e
b) 0,1379
c) 58 caixas