13) Dimensione o comprimento médio de uma prateleira para acomodar latas quadradas de tinta que tem larguras normais de valor esperado e desvio padrão . Deseja-se que as latas escolhidas aleatoriamente (de forma independente) caibam na prateleira e que a probabilidade de deixarem uma folga menor que entre a última lata e o final da prateleira seja menor que . Admita que as latas foram encostadas à esquerda no início da prateleira.

a)

b) 0

c)

d)

e)

Bom, precisamos calcular o comprimento médio de . Mas, qual que é a distribuição dessa variável aleatória?

Como está relacionado com o tamanho das latas, usando o teorema central do limite, podemos afirmar que também segue uma distribuição normal.

Assim, podemos chamar:

Consequentemente, também será uma variável aleatória com distribuição normal, pois é a combinação de duas V.A’s normais. Sacaram?

Daí, temos que:

Como seguem uma distribuição normal, podemos buscar a distribuição padrão, normalizando. Daí:

Massa! Então, precisamos determinar e né?!

Pelas propriedades da esperança, sabemos que:

Logo, para vamos ter:

Mas, como é dito que que a largura média das latas é de , vem:

Top! Também sabemos que:

E que:

Daí, vem:

No enunciado é falado que . Como , vem:

Po, até agora tudo beleza, mas e pra determinar , o que podemos fazer?

Hahaha. Essa sacada é bem interessante. Pensa comigo, pra gente ter um desvio padrão precisamos ter vários elementos em uma amostra, mas nessa situação temos apenas uma prateleira. Ou seja, temos:

Excelente! Substituindo lá em cima, temos:

Daí:

Prontinho!!

c) Agora já podemos calcular :

Para esse valor de devemos ter que:

Daí, consultando a tabela normal, na igualdade vamos ter que:

Logo:

Isolando , temos:

É isso galera, gostaram?

Essa questão é bem complicadinha, tem umas passagens um pouco complicadas, mas espero que tenha ficado bem claro pra vocês! Até a próxima 😉