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Exercícios Resolvidos de Distribuição Normal

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Enunciado

O Chile encontra-se em uma das regiões do mundo que apresentam os maiores índices de ocorrência de terremotos. Suponha que o intervalo de tempo T entre a ocorrência de dois terremotos sucessivos possa ser modelado por uma variável aleatória exponencial com média desconhecida 1 λ , em meses. Com base em dados históricos sabe-se que a probabilidade de que o intervalo de tempo entre dois terremotos exceda um ano é de 0, 001%.

(a) Usando a informação contida nos dados históricos, calcule o valor de λ e em seguida escreva a expressão matemática da função densidade de probabilidade da variável aleatória T .

(b) Determine o número médio de terremotos no Chile durante um período de 6 meses e em seguida calcule a probabilidade de que nesse período de tempo ocorram no máximo dois terremotos.

(c) Um terremoto é considerado extremo se sua magnitude na escala Richter for superior a 10. Admitindo que a magnitude dos terremotos no Chile, na escala Richter, seja distribuída conforme uma normal de média 6,5 e desvio padrão 1, determine a probabilidade de um terremoto ser considerado extremo.

Passo 1

Sabemos que:

T : i n t e r v a l o   d e   t e m p o   e n t r e   d o i s   t e r r e m o t o s   s u c e s s i v o s

T ~ E x p

P T > 12 = 0,00001

Lembrando que é 12 pois estamos trabalhando com meses, então escrevemos 1 ano como 12 meses. Também sabemos que:

E T = 1 λ

Como essa é a fórmula esperança, λ vai ser o parâmetro da nossa variável exponencial:

T ~ E x p ( λ )

a)

Para descobrir mais sobre a distribuição, podemos lembrar da fórmula da FDA Exponencial:

P T < t = F t = 1 - e - λ t ,     p a r a   t > 0

Então, trabalhando com a complementar, sabemos que:

P T > t = 1 - P T < t = 1 - 1 - e - λ t

P T > t = e - λ t

E sabemos que P T > 12 = 0,00001 , vamos igualar esse valor a e - λ t então:

e - λ t = 0,00001

e - λ 12 = 0,00001

ln ⁡ e - λ 12 = ln ⁡ 0,00001

- λ 12 = - 11,5129

λ = 0,9594

Então, lembrando da fórmula da função de densidade da Exponencial, temos:

f t = 0     ,     s e   t < 0 0,9594 e - 0,9594 t     ,     c a s o   c o n t r á r i o

Passo 2

b)

Agora estamos interessados em contar o número de ocorrências de terremotos, e não mais o intervalo de tempo entre eles. Temos que lembrar da relação entre a Poisson e a Exponencial!

Seja X : n º   d e   t e r r e m o t o s   e m   6   m e s e s . Sabemos, pela relação entre as duas distribuições, que:

X ~ P o i s s o n 6 λ = X ~ P o i s s o n ( 6 × 0,9594 )

X ~ P o i s s o n ( 5,76 )

E na Poisson, a esperança é esse número que fica dentro do parênteses, ou seja, é o próprio parâmetro da distribuição! Então:

E X = 5,76

Agora queremos:

P X ≤ 2 = P X = 2 + P X = 1 + P ( X = 0 )

Substituindo pela fórmula da Poisson:

= e - 5,76 5,76 2 2 ! + e - 5,76 5,76 1 1 ! + e - 5,76 5,76 0 0 ! = 0,0736

Passo 3

c)

Agora estamos em outra distribuição! Seja Y : m a g n i t u d e   d o   t e r r e m o t o   n a   e s c a l a   R i c h t e r :

Y ~ N o r m a l ( 6,5   ; 1 )

E o terremoto é considerado extremo se Y > 10 , então queremos:

P ( Y > 10 )

Padronizando:

P Z > 10 - 6,5 1 = P Z > 3,5 = 1 - P ( Z < 3,5 )

Procurando esse valor na tabela da Normal:

= 1 - 0,9998 = 0,0002

Resposta

a)

f t = 0     ,     s e   t < 0 0,9594 e - 0,9594 t     ,     c a s o   c o n t r á r i o

b)

0,0736

c)

0,0002

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