UFSC – Cálculo 1 – Lista 4.2 – Questão 7h
Utilize a tabela do exercício anterior (ver tabela abaixo) para calcular as integrais indefinidas abaixo:
Passo 1
E aí pessoal, tudo bem?
Essa questão dá uma tabela de integrais e pede para calcularmos, com base nessa tabela, a seguinte integral:
Mas primeiro podemos aplicar uma propriedade das integrais que está lá no final, na (xv): integral da soma é a soma das integrais! Então podemos multiplicar aquele produto notável, juntar os termos semelhantes e depois dividir em integrais
Ou seja, podemos dividir essa integral pouco complicada em três integrais mais simples:
A primeira integral nós observamos em (iv), mas e a segunda?
e aqui vai um truque sujo: equação fundamental da trigonometria
Se fizermos essa substituição, ficamos com duas integrais: de uma constante, o 1, e a integral da secante ao quadrado, que está na tabela (ix)!
Nossa missão agora é aplicar as fórmulas de integração da tabela para cada termo!
Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!
Passo 2
Precisamos calcular as seguintes integrais
E podemos fazer a substituição da tangente ao quadrado:
Daí ficamos com:
Bora integrar?
Temos uma tabela para nos ajudar:
A primeira integral pode ser resolvida usando (iv), a segunda usando (ix) e a terceira (i). Lembrando que a constante pode sair para fora da integral nas duas últimas, agora só nos resta resolver!
Passo 3
Assim:
Aplicando a integral tabelada em (iv), (ix) e (i):
Encontramos que:
Beleza? E é isso!
Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?