UNICAMP – Cálculo 1 – Professor Ricardo Martins – Lista de Integrais
9.5 Seja definida para . Mostre que é crescente.
Passo 1
Falaaa... tudo bem??
Nessa questão vamos mostrar que é crescente.
Pra isso vamos mostrar que sua derivada é sempre maior ou igual a zero.
Pra achar a derivada vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo que diz que se é uma função contínua em e com , então também é contínua no intervalo e , no intervalo .
Passo 2
Como a integral já está bonitinha e pronta pra aplicar o teorema (com a constante no limite de integração inferior e com no limite de integração superior), então:
Temos uma função logarítmica e o log tem algumas particularidades.
O é sempre maior ou igual a zero, né?
E a função log seria negativa somente entre e quando temos .
Maaaaas repara que o limite inferior da integral é 1, então só estamos interessados em analisar essa derivada a partir de .
Como em a derivada é igual a zero e com a derivada é positiva, então a função é crescente.
Resposta
Demonstração