Se , e , determine:

Letra a)

Veja bem:

Queremos e temos o valor da integral

A única coisa que muda é a constante multiplicando , certo? Os limites de integração são os mesmos. Então que tal usarmos essa propriedade aí embaixo?

Do enunciado, sabemos que:

Logo:

Pronto!

Letra b)

Queremos e temos o valor das integrais e

Essa questão é diferente da anterior. Agora, além da constante multiplicando , os limites de integração também mudam. Observe que queremos calcular uma integral com limite inferior 2 e temos o valor de duas integrais com o limite inferior igual a -2, sendo que uma delas tem limite superior igual a 2 e a outra limite superior igual a 5.

Isso nos leva a pensar na possibilidade de usar aquela propriedade de juntar intervalor de integração:

Pensa aqui comigo se eu não posso escrever:

Bem, o que temos não é a integral de e sim

Então para podermos usar a propriedade acima, primeiro devemos utilizar aquela propriedade de inverter os limites de integração:

Nesse caso:

No item , já calculamos

Do item :

Logo:

Do enunciado:

Então:

Letra c)

Agora devemos calcular

Temos o valor de

Aqui a constante multiplicando a função muda, bem como a ordem dos limites de integração. Portanto, utilizamos as propriedades abaixo:

Temos:

Do enunciado, sabemos que:

Logo:

E então:

Letra d)

Queremos e temos o valor de , calculado no item

Nesse caso, a única coisa que difere é a constante multiplicando a função . Mais uma vez, podemos utilizar a propriedade:

Letra e)

Queremos calcular e temos os valores de (calculado no item e o valor de (calculado no item .

A primeira coisa que devemos notar é que podemos reescrever essa soma da seguinte forma:

Utilizando a propriedade:

(Ufa... me diz que você também não aguenta mais usar essa propriedade?)

Temos:

Agora nós temos a integral de uma soma. Então devemos utilizar a propriedade que diz que a integral da soma é igual à soma das integrais:

Portanto, teremos: