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Exercícios Resolvidos de Propriedades das Integrais

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Enunciado

UNICAMP – Cálculo 1 – Professor Ricardo Martins – Lista de Integrais

9.11. Verifique se ∫ 1 ��� e 1 x x 2 d x   é convergente ou divergente.

Passo 1

Falaaa... tudo bem???

Nessa questão vamos verificar se a integral ∫ 1 ∞ e 1 x x 2 d x é convergente ou divergente.

O primeiro passo é a gente substituir esse infinito por uma letra qualquer, tipo A :

∫ 1 ∞ e 1 x x 2 d x = ∫ 1 A e 1 x x 2 d x

Daí a gente resolver essa integral normalmente.

Depois de achar, calculamos o limite com A tendendo ao infinito:

lim A → ∞ ⁡ f ( A ) = …

Se der um número bonitinho, a integral é convergente, maaas se der infinito, a integral é divergente.

Passo 2

Resolvendo primeiro a integral ∫ 1 A e 1 x x 2 d x .

Temos uma função composta... e repara que a derivada do que está em cima da exponencial ( 1 / x ) é beeem parecido com o que está fora ( - 1 / x 2 ). Sendo assim, vamos usar substituição simples:

u = 1 x → d u = - 1 x 2 d x

Não esquece de mudar os limites de integração, heim!?

x = 1 → u = 1

x = A → u = 1 A

Então:

∫ 1 A e 1 x x 2 d x = ∫ 1 1 A e u - d u

= - ∫ 1 1 A e u d u

= - e u 1 1 A

= - e 1 A + e 1

= e - e 1 A

Agora calculamos o limite:

lim x → ∞ ⁡ e - e 1 A = e - e 0

= e - 1

Portanto, é convergente.

Resposta

Convergente

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