UNICAMP – Cálculo 1 – Professor Ricardo Martins – Lista de Integrais
10.7 Decida se a integral
É convergente ou divergente. Caso seja convergente, calcule seu valor.
Passo 1
Falaaa... tudo bem???
Nessa questão vamos verificar se a integral é convergente ou divergente.
O primeiro passo é a gente substituir esse infinito por uma letra qualquer, tipo A:
Daí a gente resolver essa integral normalmente.
Depois de achar, calculamos o limite com tendendo ao infinito:
Se der um número bonitinho, a integral é convergente, maaas se der infinito, a integral é divergente.
Passo 2
Calculando a integral...
Já querendo que a parte de cima da fração seja parecido com a derivada de alguma coisa que tenha na parte de baixo, pra facilitar e usar substituição simples, podemos reescrever:
Usamos substituição simples:
E os limites de integração:
Então:
Colocando o em evidência, embaixo:
Passo 3
Ta meio parecido com a integral de arco tangente, né??
Mas precisamos usar substituição de novo:
Para os intervalos de integração:
Então:
Como arcotangente é uma função ímpar, então:
Passo 4
Agora fazemos o limite com tendendo a infinito:
Lembra quando que tangente vai pra infinito?? Quando o ângulo é .
Então:
Como deu um número, a integral é convergente e vale .