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Exercícios Resolvidos de Propriedades das Integrais

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Enunciado

UNICAMP – Cálculo 1 – Professor Ricardo Martins – Lista de Integrais

9.9 Verifique se ∫ 0 ∞ sen ⁡ x x d x é convergente ou divergente. Caso seja convergente, você consegue estimar o valor desta integral?

Passo 1

Falaaa... tudo bem???

Nessa questão vamos verificar se a integral ∫ 0 ∞ sen ⁡ x x d x é convergente ou divergente. Se for convergente, a gente tenta achar o valor dela.

Essa integral já é conhecida pelo povo por aí... o nome é Integral de Dirichlet. A maneira de resolver é um pouco diferente do que já somos acostumados, mas vamos tentar fazer o passo a passo.

Passo 2

Primeiro vamos chamar, usando uma variável diferente:

I t = ∫ 0 ∞ sen ⁡ x x e - t x d x

Repara que se usarmos t = 0 , voltamos pra nossa integral...

I 0 = ∫ 0 ∞ sen ⁡ x x d x

Derivando a I t :

I ' t = d d t ∫ 0 ∞ sen ⁡ x x e - t x d x

Pela regra e Leibniz, podemos trocar a ordem, a derivada pela integral:

I ' t = ∫ 0 ∞ ∂ ∂ t sen ⁡ x x e - t x d x

I ' t = ∫ 0 ∞ - x e - t x sen ⁡ x x d x

I ' t = - ∫ 0 ∞ sen ⁡ x e - t x d x

Passo 3

Resolvendo a integral ∫ 0 ∞ sen ⁡ x e - t x d x   por partes:

u = e - t x → d u = - t e - t x d x

d v = sen ⁡ x d x → v = - cos ⁡ x

Então:

∫ 0 ∞ sen ⁡ x e - t x d x = - cos ⁡ x e - t x 0 ∞ - ∫ 0 ∞ - cos ⁡ x - t e - t x d x

∫ 0 ∞ sen ⁡ x e - t x d x = 0 - - 1 - t ∫ 0 ∞ e - t x cos ⁡ x d x

∫ 0 ∞ sen ⁡ x e - t x d x = 1 - t ∫ 0 ∞ e - t x cos ⁡ x d x

Passo 4

Usando integração por partes de novo, mas em ∫ 0 ∞ e - t x cos ⁡ x d x :

u = e - t x → d u = - t e - t x d x

d v = cos ⁡ x d x → v = sen ⁡ x

Então:

∫ 0 ∞ e - t x cos ⁡ x d x = sen ⁡ x e - t x 0 ∞ - ∫ 0 ∞ sen ⁡ x - t e - t x d x

∫ 0 ∞ e - t x cos ⁡ x d x = 0 - 0 + t ∫ 0 ∞ e - t x sen ⁡ x d x

∫ 0 ∞ e - t x cos ⁡ x d x = t ∫ 0 ∞ e - t x sen ⁡ x d x

Voltando pra equação do final o passo 3:

∫ 0 ∞ e - t x sen ⁡ x d x = 1 - t t ∫ 0 ∞ e - t x sen ⁡ x d x

∫ 0 ∞ e - t x sen ⁡ x d x = 1 - t 2 ∫ 0 ∞ e - t x sen ⁡ x d x

∫ 0 ∞ e - t x sen ⁡ x d x + t 2 ∫ 0 ∞ e - t x sen ⁡ x d x = 1

1 + t 2 ∫ 0 ∞ e - t x sen ⁡ x d x = 1

∫ 0 ∞ e - t x sen ⁡ x d x = 1 1 + t 2

Passo 5

Voltando pra equação do final do passo 2:

I ' t = - 1 1 + t 2

Integrando, em t :

I t = ∫ 0 ∞ sen ⁡ x x e - t x d x = - atan ⁡ t + C

Pra achar a constante C , repara que quando fazemos o limite pra t tendendo ao infinto:

- A parte da integral:

lim t → ∞ ⁡ ∫ 0 ∞ sen ⁡ x x e - t x d x = 0

- A parte do arcotangente:

lim t → ∞ ⁡ - atan ⁡ t + C = - π 2 + C

Igualando:

0 = - π 2 + C

C = π 2

Então temos:

I t = - atan ⁡ t + π 2

Maaaas queremos o I ( 0 ) , já que é aí que chegamos na integral que queremos calcular, né?

I 0 = 0 + π 2

I 0 = π 2

Portanto, a integral é convergente e seu valor é π 2 .

Resposta

Convergente, π 2

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